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Erwartungswert vom Münzwurf berechnen

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert, Münzwurf, Wahrscheinlichkeit, Würfel, Würfelwurf

 
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AtMe57

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23:00 Uhr, 09.05.2022

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a) Eine faire Münze werde so oft geworfen, bis das erste Mal Kopf erscheint.
Wenn dies beim n-ten Wurf der Fall ist, wird im Anschluss ein unverfälschter Würfel n-mal
geworfen. Es bezeichne X die Summe der Augenzahlen aller Würfelwürfe. Bestimme
E[X].

Hinweis: Definiere und verwende eine geeignete Hilfszufallsvariable N

b) Eine Münze zeige mit Wahrscheinlichkeit p ∈ (0,1) Kopf und werde wiederholt
geworfen. Für n ∈ N sei Xn die Anzahl der Würfe die nötig sind, bis n-mal hintereinander
Kopf erschienen ist. Bestimme E[Xn].
Hinweis: Gehe induktiv vor und bestimme für k ≥ n zunächst E[Xn+1|Xn =k].

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
N8eule

N8eule

23:14 Uhr, 09.05.2022

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zu a)
Welchen Erwartungswert an Augen hat denn ein Würfel?
Welchen Erwartungswert an Augensumme hat dann ein Würfel, wenn du ihn zweimal wirfst?
Welchen Erwartungswert an Augensumme hat dann ein Würfel, wenn du ihn dreimal wirfst?
Welchen Erwartungswert an Augensumme hat dann ein Würfel, wenn du ihn n-mal wirfst?

Sieh an, schon wirst du nur noch überlegen müssen, wie wahrscheinlich es ist,
> dass du nur 1-mal würfeln darfst;
> dass du 2-mal würfeln darfst;
> dass du 3-mal würfeln darfst;
> dass du n-mal würfeln darfst.

Wie wahrscheinlich ist es denn (?):
> dass du nur 1-mal würfeln darfst, d.h. die Münze gleich beim 1-sten mal Kopf zeigt?
> dass du 2-mal würfeln darfst, d.h. die Münze erst beim 2-ten mal Kopf zeigt?
> dass du 3-mal würfeln darfst, d.h. die Münze erst beim 3-ten mal Kopf zeigt?
> dass du n-mal würfeln darfst, d.h. die Münze erst beim n-ten mal Kopf zeigt?
Wenn du hier Stütze brauchst, dann hilft dir vielleicht ein Baumdiagramm...
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HAL9000

HAL9000

09:20 Uhr, 10.05.2022

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Zu b) Der Hinweis ist nicht übel. Bedingung Xn=k bedeutet: Zum Zeitpunkt k hat man erstmalig eine Sequenz von n-mal hintereinander Kopf erzielt.

Was passiert nun in Wurf k+1: Wenn wieder Kopf erscheint, dann haben wir sofort Xn+1=k+1, das passiert mit Wkt p. Andernfalls (d.h. mit Wkt 1-p) erscheint aber Zahl, womit die Versuchsreihe, (n+1)-mal Kopf hintereinander zu erzielen, zunächst gescheitert ist und mit Wurf k+2 neu beginnt, d.h. dort brauchen wir im Mittel E[Xn+1] Würfe zuzüglich der k+1 bereits getätigten (aber erfolglosen) Würfe. Das bedeutet

E[Xn+1∣Xn=k]=p(k+1)+(1-p)(k+1+E[Xn+1])=k+1+(1-p)E[Xn+1](1) .

Nun ist E[Xn+1]=∑k=n∞E[Xn+1∣Xn=k]⋅P[Xn=k], daraus folgt mit (1) und unter Berücksichtigung von ∑k=n∞k⋅P[Xn=k]=E[Xn] die Gleichung

E[Xn+1]=E[Xn]+1+(1-p)E[Xn+1](2) .
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