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Exponentielles Wachstum

Schüler

Tags: Geometrische Folge

anonymous

15:31 Uhr, 13.09.2011

1000

Einzeller teilen sich alle

20

Minuten.

1000

- 0 min

2000

- 20 min

4000

- 40 min

8000

- 60 min

Frage: Nach welcher Zeit sind

10.000.000

Einzeller entstanden?

Mein Lösungsweg:

a)

a_{n} = 10.000.000

a_{1} = 1000

q = 2

eingesetzt:

10.000.000 = 1000 \cdot 2^{n - 1}

10.000 = 2^{n - 1}

{log}_{10.000} = {log}_{2} \cdot (n - 1)

\frac{{log}_{10000}}{{log}_{2}} + 1 = n

n = 14,29

Das heißt, ab dem

15

. Folgenglied wurde die 10.000.000-Grenze überschritten, da

a_{15} = 16.384.000

ist.

b)um die Zeit auszurechnen muss man eine arithmetische Folge anwenden mit

d = 20

und die Summenformel anwenden oder?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)

DmitriJakov aktiv_icon

15:37 Uhr, 13.09.2011

Mit einer Folge brauchst Du gar nicht mehr groß rummachen. Du dast

n,

das für ein Zeitintervall von

20

Minuten steht. Also sind es

14,29

Intervalle à

20

Minuten=

285,8

Minuten oder 4 Stunden,

45

Minuten und

48

Sekunden

anonymous

15:56 Uhr, 13.09.2011

Ok hab grad gemerkt die Summenformel ist eh Quatsch, die Rekursionsformel reicht.

Ich nehme für

n

aber

15

weil ab dem 15.Glied erst die 10.000.000er Marke fällt.

Hab dann für

a_{15} = 300

raus

Also spätestens nach

300 min

oder 5 Stunden haben die Einzeller sich über

10^{7}

vermehrt

Zwar ungenau aber von der Folge her gesehen richtig oder?

DmitriJakov aktiv_icon

15:59 Uhr, 13.09.2011

Diese Bakterienrechnungen sind sowieso Milchmädchenrechnungen, die nichts mit der Realität zu tun haben, sind aber nette Spielereien. Kannst ja mal spasshalber ausrechnen wie lange es dauert bis die Bakterienzahl die Anzahl der Protonen im Universum (ca.

10^{80})

überschreitet :-D)

anonymous

16:18 Uhr, 13.09.2011

mom

a_{15}

ist ja

280

;-) kleiner Fehler von mir

ok moment ich mach nochmal deine rechnung ;-)

DmitriJakov aktiv_icon

16:20 Uhr, 13.09.2011

Wahrscheinlich meinst Du

n \cdot 20

. Denn

a_{15}

soll ja

> 10^{7}

sein

anonymous

16:26 Uhr, 13.09.2011

Sorry, schlecht ausgedrückt, ich meine

a_{15}

der arithmetischen Folge mit

a_{1} = 0

und

d = 20

So hab ich halt jetzt mal die Zeiten ausgerechnet, also bei

a_{15}

bin ich bei

280 min

DmitriJakov aktiv_icon

16:30 Uhr, 13.09.2011

Richtig, Du hast ja mit Indexnummer 1 begonnen und nicht mit Indexnummer 0.

Dann brauchst Du aber

a_{16},

denn nach

14

Verdopplungen, also

a_{1 + 14} = a_{15}

hast Du noch nicht die geforderte Anzahl von

10^{7}

Bakterien.

anonymous

16:37 Uhr, 13.09.2011

Stimmt, dann ist bei der geometrischen Folge

a_{15}

und bei der arithmetischen Folge

a_{16}

richtig oder?

weil man ja bei der geometrischen Folge auf

14,29

kommt und so mindestens für

n = 15

in der arithmetischen einsetzen muss

DmitriJakov aktiv_icon

16:41 Uhr, 13.09.2011

Eine arithmetische Folge hat die Eigenschaft, dass die Differenz zwischen zwei Folgegliedern konstant bleibt. Das ist hier aber nicht der Fall, es liegt weit und breit keine arithmetische Folge vor. Es ist eine geometrische Folge, bei der der Faktor zwischen zwei Folgegliedern konstant bleibt. Der Faktor ist hier: 2

anonymous

16:42 Uhr, 13.09.2011

Sorry,

ich meine wir haben AUCH eine arithmetische Folge und zwar was die Minuten angeht 0min, 20min, 40min, 60min, 80min...

und dann haben wir

d = 20

oder??

DmitriJakov aktiv_icon

16:45 Uhr, 13.09.2011

LOL

Ja, wenn Du das so sehen möchtest

. .

. :-D)
Ja, die Zeit schreitet in einer arithmetischen Folge fort, auch wenn sie gegen Ende der Prüfungszeit in eine geometrische Folge überzugehen scheint :-D)DD

anonymous

16:49 Uhr, 13.09.2011

;-)

also ist dann einmal für die geometrische Folge

a_{15}

und für die arithmetische Folge

a_{16}

richtig oder?

also wenn du von (n=Element der natürlichen Zahlen) ausgehst

DmitriJakov aktiv_icon

16:58 Uhr, 13.09.2011

nein, anders rum: die geometrische Folge geht von

a_{1}

bis

a_{16}

und die arithmetische von

t_{0}

bis

t_{15},

wenn Du so willst.

anonymous

17:07 Uhr, 13.09.2011

Ist es nicht so,

dass bei der geometrischen Folge mindestens

15

Glieder vorhanden sein müssen, um die

10^{7}

zu überschreiten? Und das wäre dann

a_{15}

oder?

also:

a_{15} = 1000 \cdot 2^{14} = 16.384.000

und

dass bei der arithmetischen Folge mindestens

16

Glieder vorhanden sein müssen, um die

285,8

Minuten zu überschreiten?

also:

a_{16} = 0 + 15 \cdot 20 = 300

DmitriJakov aktiv_icon

17:12 Uhr, 13.09.2011

stimmt, oben hattest Du ja

2^{n - 1}

verwendet. Damit läuft dann das

n

von Null bis

14

.

Damit ist dann bei

a_{15}

das Ziel erreicht und bei

t_{14}

Und nochmal: a ist die Bakterienzahl

N I C H T

die Zeit!!!!

anonymous

17:14 Uhr, 13.09.2011

Und jetzt nochmal zu deiner Aufgabe mit den

10^{80}

Protonen :-D)

PS: Sind es nur die Protonen oder alle Teilchen im Universum??

PS: Richtig a ist die Bakterienzahl, sagen wir für Zeit

t,

kann verstehen das es dich verwirrt hat

DmitriJakov aktiv_icon

17:18 Uhr, 13.09.2011

Die Protonen sind alles was zählt, denn nur sie sind das einzig stabile Teilchen in diesem Universum. Ich habe es überschlägig ausgerechnet. Es sind ca.

\frac{80}{3} \cdot 10 \approx 267

Verdopplungen oder

267 \cdot 20

Minuten

= 5340 min = 89 h =

knapp 4 Tage :-D)

anonymous

17:21 Uhr, 13.09.2011

Ich kam auf

5120 min

als

3,5

Tage

Habs genau gerechnet ;-)

PS: Aber was für ein Schwachsinn, dann gibt es ja mehr Bakterien als Protonen, die diese wiederum Aufbauen :-D) :-D) :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

17:29 Uhr, 13.09.2011

Schwachsinn, ganz genau! Deswegen habe ich ja vorhin gesagt, dass diese Bakterienrechnungen alles Milchmädchenrechnungen sind. Selbst in einer Petrischale schaffen es die Bakterien nicht mehr sich alle

20

Minuten zu verdoppeln, sobald sie die ersten Kolomien gebildet haben. denn ab diesem Zeitpunkt finden nur noch die Bakterien an den Rändern der kreisförmigen Kolonie Nahrung undnur dort können sie sich vermehren.

Der Umfang erhöht sich aber nur linear mit dem Radius und dies bremst das Wachstum außerordentlich.

Gängiger ist übrigens die Rechnung nach welcher Zeit die Bakterien die Masse der gesamten Erde aufgefressen haben. Geh mal von den kleinsten Bakterien aus, die einen Durchmesser von

0,1 μ m

haben, Dichte=1

(= 1 \frac{k g}{{(d m)}^{3}})

:-D)

anonymous

17:38 Uhr, 13.09.2011

Noch eine Milchmädchenrechnung :-D)

Die Masse der Erde beträgt laut Wikipedia

5,974 \cdot 10^{24}

kg richtig?

DmitriJakov aktiv_icon

17:43 Uhr, 13.09.2011

jupp, zumindest laut Wikipedia :-)

anonymous

17:50 Uhr, 13.09.2011

Ok da kommen ja täglich noch Tonnen dazu, durch Meteore, Meteoriten etc.

Und wie rechnet man das jetzt aus? :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

17:53 Uhr, 13.09.2011

Achja... und nach ca.

20 h

hat ein solcher Winzling von

0,1 μ m

Bakterium die Masse von einem Kilo erreicht, und nach weiteren 2 Stunden

64

Kilo. Einmal am Tag steril waschen genügt also nicht für einen Menschen, er wäre bis zum nächsten Tag ratzeputz von Bakterien aufgefuttert :-D)

anonymous

17:55 Uhr, 13.09.2011

Kannst du das mal vorrechnen?
Ich steh grade auf der Leitung :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

18:10 Uhr, 13.09.2011

Ich rechne sowas immer mit Rechenvorteil im Kopf:
Eine Verzehnfachung der Kantenlänge eine Würfels bedeutet die Vertausendfachung des Volumens (und damit auch des Gewichts.

Eine zehnfache Verdopplung führt ca. zu einer Vertausendfachung des Ausgangswerts:

2^{10} = 1024

von

0,1 μ m

bis

0,1 m (= 1

Dezimeter) muss man sechs mal verzehnfachen. Das sind

60 \cdot 20

Minuten oder

20

Stunden. Dann hat das Bakterium also

1 d m^{2}

Volumen erreicht bzw ein Kilogramm Masse (Dichte von Wasser war ja angenommen)

nach weiteren 6 Verdopplungen, die bei einer Verdopplungszeit von

20

Minuten genau 2 Stunden dauern, hat das Bakterium

64

Kg erreicht, also etwa das Gewicht eines kleine Erwachsenen.

Nach weitern 4 EDIT: sorry,

2 (!)

Stunden wären es bereits 4 tonnen oder

4000

kg. Bei einem Durchschnittsgewicht eines Erwachsenen von

80

kg wären das

\frac{4000}{80} = 50

Menschen. Ein Bakterium entvölkert also binnen

24

Stunden einen ganzen Wohnblock :-D)

Das wär mal ein Stoff für einen Science Fiction Horrorfilm :-D)

anonymous

18:37 Uhr, 13.09.2011

Zugegeben ich habs noch nicht hundert pro gecheckt :-D)

aber krass klingt es schon!

Was sagt uns das?
Exponentielles Wachstum ist gefährlich und wird von der Natur automatisch eingebremst.

z . B

. Krebszellen entwickeln sich auch exponentiell, und irgendwann stirbt der Organismus dann ist es vorbei.

Oder in Bezug auf unser Schuld-Geldsystem: Die Gesamtheit aller Schulden, die ja durch Kreditvergabe entstehen wachsen exponentiell, ebenso wie andererseits die Menge der Vermögen exponentiell wachsen.
Irgendwann ist die Schuldenlast eines Staates derart hoch, das eine Währungsreform kommen muss um von vorne anzufangen, ebenso wie die Vermögen durch sogenannte "Wirtschaftskrisen" entwertet werden müssen.

DmitriJakov aktiv_icon

18:58 Uhr, 13.09.2011

Dein letzter Abschnitt trifft es ziemlich genau. Wobei die Vernichtung der Schulden und der Vermögen in der Geschichte in der Regel durch Inflation erfolgte.

anonymous

19:01 Uhr, 13.09.2011

Ja richtig, Inflation ist ja nix anderes als den Geldhahn weiter aufdrehen :-D)

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