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Extrema, notwendige und hinreichende Bedingung?
Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe
Tags: Extrema, hinreichende Bedingung, notwendige Bedingung
 
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anonymous 18:18 Uhr, 28.05.2008  |
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Hallo, erstmal wollte ich mich für die zahlreichen Antworten auf meine Fragen bedanken. Unser Lehrer hat uns zwei Fragen aufgegeben. Und zwar, Wir sollen beschreiben, wie man Extrema untersucht und was der Begriff der notwendigen und hinreichenden Bedingung bedeutet. Ich blättere in meinem Buch aber ich finde keine Antworten. Könntet ihr mir vielleicht helfen? Danke. |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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Hallo, wie du ja wahrscheinlich schon weißt, untersucht man eine Funktion auf Extrema, indem man zuerst einmal die 1. Ableitung setzt und dann ausrechnet. Mit anderen Worten: Man findet heraus, für welche x-Werte die 1. Ableitung ist. Dies ist dann schon die notwendige Bedingung: muss sein. "Notwendig" heißt hier, dass es nur dann ein Extrempunkt sein kann, wenn ist. Wäre nicht kann es auch kein Extrempunkt sein. Hat man so einen Wert gefunden, setzt man ihn ja anschließend in die 2. Ableitung ein und schaut nach, was für ein Wert herauskommt. Dabei ist nur wichtig, ob der Wert oder ist. Ist ungleich ist es ein Hoch- oder Tiefpunkt (also wirklich ein Extremum) und man ist mehr oder weniger fertig. Ist weiß man noch gar nichts. Mit der hinreichenden Bedingung ist hier gemeint, dass ungleich 0 sein muss. "Hinreichend" heißt jetzt, dass diese Bedingung eben ausreicht. Man muss nicht noch irgendwelche anderen Sachen überprüfen, um zu schauen, ob es ein Extremum ist. Ok ich schätze, das dürfte dir schon mal weiterhelfen... Viele Grüße, Sarah |
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Extrema sind die hoch- und tiefpunkte eines graphen. mit hilfe der ersten ableitung, also bekommt man die möglichen extremstellen heraus.f' ist die notwenige bedingung. mit hilfe von ist größer oder kleiner null findet man heraus ob das hoch oder tiefpunkte sind hochpunkt/ tiefpunkt). dies nennt man auch hinreichende bedingung. |
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Hallo, ich habe mir die Antworten von butterfly3 und triplex lange und immer wieder durchgelesen, ob es irgendeine Interpretationsmöglichkeit gibt, daß diese Antworten doch richtig sind. Allein ich habe keine Möglichkeit gefunden. Beide Antworten zur hinreichenden Bedingung sind entweder mißverständlich formuliert oder falsch! butterfly3: "Mit der hinreichenden Bedingung ist hier gemeint, dass f"(x_0) ungleich 0 sein muss. 'Hinreichend' heißt jetzt, dass diese Bedingung eben ausreicht." triplex: "mit hilfe von f" ist größer oder kleiner null findet man heraus ob das hoch oder tiefpunkte sind . dies nennt man auch hinreichende Bedingung" Eine hinreichende Bedingung ist eine Bedingung, bei deren Erfüllung zwangsweise etwas gefolgert werden kann. Eine hinreichende Bedingung ist, aussagenlogisch gesprochen, die Voraussetzung (Vorderglied, Prämisse, Implikans) einer Implikation! Eine notwendige Bedingung ist im Gegensatz dazu aussagenlogisch die Behauptung (Hinterglied, Konklusion, Implikant) einer Implikation! Beispiel für letzteres: Wenn ein Extremum in vorliegt, dann folgt . Die Gültigkeit einer solchen Implikation vorausgesetzt, kann man die Negation der notwendigen Bedingung auch als hinreichende Bedingung für die Negation der Voraussetzung betrachten (siehe Modus tollens oder genauer Modus tollendo tollens). Die entsprechende Implikation sähe dann etwa so aus: Wenn nicht also dann liegt in keine Extremum vor. Mit anderen Worten: Aus einer hinreichenden Bedingung folgen immer notwendige Bedingungen und Aus der Negation einer notwendigen Bedingung folgt immer die Negation von hinreichenden Bedingungen Fazit: Eine notwendige Bedingung ist immer gleichzeitig eine negierte hinreichende Bedingung und eine hinreichende Bedingung ist ebenso immer gleichzeitig eine negierte notwendige Bedingung! ist notwendig für ein Extremum in nicht also ist hinreichend für kein Extremum in . und und f"(x_0) ist hinreichend für ein Extremum in nicht oder nicht f"(x_0) also oder f"(x_0) ist notwendig für kein Extremum in Zurück zu dem konkreten Beispiel: Aus der Tatsache, daß f"(x_0) größer oder kleiner Null ist, kann man nur schließen, ob die Funktion an dieser Stelle konvex oder konkav ist, nicht weniger, aber auch nicht mehr! Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist immer die Konjunktion aus der notwendigen Bedingung und der zusätzlichen Bedingung für f"(x_0)! Und das geht . aus beiden Antworten so nicht hervor! Dort wird . beide Male die Bedingung mit der 2. Ableitung allein als hinreichend bezeichnet und das stimmt leider nicht! |
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Na so war's aber gemeint... und ich finde schon, dass man es aus meiner Antwort ersieht, deswegen habe ich ja bei eine 0 an das angehängt... Lies dir den Text noch mal durch! |
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Hallo, ich gebe zu, das wäre eine mögliche Interpretation, die ich nicht gefunden habe. Aber ob die jemand, der dieses Thema erst angeht und selbst diverse Schwierigkeiten in Mathematik hat (also die Mehrzahl der Fragesteller hier) eine Chance hat, dies zu erkennen, das wage ich zu bezweifeln. Ich gehe weiterhin davon aus, daß Deine Antwort für die große Mehrheit mißverständlich ist! |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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