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Extremwert Aufgabe Zylinder mit Halbkugel

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Extremwertaufgabe, Halbkugel, volum, Zylinder

twin92 aktiv_icon

04:14 Uhr, 11.01.2016

Hallo liebes Mathe-Forum ich habe folgendes Problem und komme einfach nicht weiter.
So sieht die Aufgabe aus.

Eine Getränkedose habe die Form eines Zylinder

s

mit oben aufgesetzter Halbkugel
und unten einem flachen Boden.
Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit die Dosebei einer Oberfläche von

200

cm²
ein möglichst großes Volumen hat? Machen Sie sich zur Verdeutlichung der Aufgabenstellung zu erst eine Skizze.

Über eure Hilfe würde ich mich freuen.

Grüße twin92

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Edddi aktiv_icon

07:20 Uhr, 11.01.2016

. .

. deine Dose enthält nur 2 Unbekante, den Radius

r

der Dose (und damit der Halbkugel) und die Höhe

h

des Zylinders.

Erstelle die Volumenformel für die beiden Teilkörper in Abh. von

r

und

h

.

Dann kommt in etwa sowas raus:

V (r, h) = V_{Z} (r, h) + V_{H K} (r)

Das Gleiche dann mit der Oberfläche. Hier ist uns das Ergebnis bekannt:

A (r, h) = 200 = A_{Z} (r, h) + A_{H K} (r)

Stelle diese Gleichung nach einer Variabelen um und setze diese dann in die Volumenformel ein.

Deine Volumenformel ist dann nur noch von einer Variablen abhängig. Du kannst dann die Extremstelle dieser Volumenfunktion suchen und finden.

;-)

twin92 aktiv_icon

14:56 Uhr, 12.01.2016

Hallo Edddi,
danke für deine schnelle Antwort. Habe jetzt deinen Ratschlag umgesetzt.

V (r, h) = π \cdot r^{2} \cdot h + \frac{2}{3} π \cdot r^{3}

Extremalbedinung

A (r, h) = 2 \cdot π \cdot r^{2} + 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 3 \cdot π \cdot r^{2}

Nebenbedinung

Dann habe ich die Nebenbedinung nach

h

umgestellt.

h = \frac{A - 2 \cdot π \cdot r^{2} - 3 \cdot π \cdot r^{2}}{2 \cdot π \cdot r}

zusammengefasst

h = \frac{A - 5 \cdot π \cdot r^{2}}{2 \cdot π \cdot r}

Das dann in

V (r, h)

einsetzen für

h

V = π \cdot r^{2} \cdot (\frac{A - 5 \cdot π \cdot r^{2}}{2 \cdot π \cdot r}) + \frac{2}{3} \cdot π \cdot r^{3}

so und weiter komme ich nicht ich soll jetzt die gleichung vereinfachen, um sie
dann abzuleiten oder ?

Der nächste schritt wäre

π \cdot r^{2}

auf den Bruchstrich zu schreiben und weiter weis ich nicht weiter.

Atlantik aktiv_icon

14:59 Uhr, 12.01.2016

Du kannst kürzen:

\frac{Π \cdot r^{2}}{2 Π r} = . .

.

mfG

Atlantik

abakus

15:28 Uhr, 12.01.2016

Hallo twin92,
deine Oberflächenformel ist falsch.
Nur der Behälterboden ist eine Kreisfläche. Auf dem oberen Zylinderrand ist kein zusätzlicher Kreis-Deckel, sondern nur die Halbkugel.

twin92 aktiv_icon

17:03 Uhr, 12.01.2016

danke für die hilfe ich bin auf die lösung gekommen

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