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Extremwertaufgabe gleichschenkliges Dreieck

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Extremwertaufgaben, Funktion, Gleichschenkliges Dreieck

djdeba aktiv_icon

19:52 Uhr, 22.02.2009

Guten Abend zusammen.
Ich hab da ein kleines Problem, Aufgabenstellung lautet:
Eine Strecke a soll so aufgeteilt werden, dass ein gleichschenkliges Dreieck entsteht. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist abhängig von der Grundseite

x

a)

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung für

A = f (x)

und den Definitionsberreich.

b)

Zeichnen sie den Graphen wenn

a = 2 m

ist.

c)

Für welchen

x

wert wird der Flächeninhalt Maximum.

Laut buch ist die Lösung für

a)

f(x)=sqrt(0.25a²-0.5ax*0.5x)
also Wurzel 0.25a²-0.5ax*0.5x

Irgendwie komme ich aber auf eine ganz andere Funktion unzwar:

f (x) = (2 - 2 a) (\frac{2 - 2 a}{2}) + a

Hauptbedingung hab ich A=1/2x*hx Umfang

2 = 2 a + x \to x = 2 - 2 a

für

h

habe ich den pytagoras genommen und somit

h = \frac{1}{2} (2 - 2 a) + a

dann beides eingesetzt.

Kann mir wer sagen was ich Falsch mache irgendwie komme ich nicht drauf.

Vielen Dank schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Cauchy09

23:55 Uhr, 22.02.2009

Ein Schenkel:

s = \frac{a - x}{2}

Die Höhe (mit Pythagoras):

{(\frac{a - x}{2})}^{2} = {(\frac{x}{2})}^{2} + h^{2}

\Leftrightarrow h = \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a x}}{2}

Flächeninhalt:

A = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{\sqrt{a^{2} - 2 a x}}{2}

= \frac{x \sqrt{a^{2} - 2 a x}}{4}

Definitionsbereich:

0 \leq x \leq \frac{a}{2}

A' (x) = \frac{(3 x - a) \sqrt{a^{2} - 2 a x}}{4 (2 x - a)}

A' (x) = 0

\to x = \frac{a}{3}

anonymous

23:57 Uhr, 22.02.2009

Cauchy09...

aber das ist doch nun auch nicht die lösung, die in dem buch steht... wenn ich

\frac{x}{4}

unter die wurzel zieh, kommt doch was ganz anderes raus(?)

djdeba aktiv_icon

00:08 Uhr, 23.02.2009

Da hab ich mich verschrieben mit dem 2ten

x

stimmmt schon es lautet

\frac{1}{2} x \cdot h

.
Für den Umfang habe ich zwei genommen da ich ja bei

b

den graphen für

a = 2 m

zeichnen soll.
Ich habe auch sehr viele möglichkeiten ausprobiert,

z . B

wenn

a = 2 m

umfang ist oder

a = 2 m

für einen schenkel also in der skizze jetzt

s

.

Dann hab ich mitlerweile weiter gemacht s²=h²+0.5x² umgestellt nach h²=s²-0.5x²
dies dann eingesetzt

A = \frac{1}{2} x \cdot \sqrt{}

(a²-0.5x²).
Aber dies entspricht ja auch nicht der Funktion aus dem Buch.

anonymous

00:13 Uhr, 23.02.2009

das war auch erst mein grundgedanke, wobei mich das mit

s = \frac{a - x}{2}

schon irgendwie eher überzeugt.

aber dein ansatz... du hast

s

über pythagoras ausgerechnet... dann müsste auf jeden fall dranstehen:

h^{2} = s^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2} = s^{2} - \frac{x^{2}}{4}

dranstehen, also

0,25

nicht

0,5

aber egal, welcher weg... mich führt keiner zu dem ergebnis, wie es da wohl im buch steht

djdeba aktiv_icon

00:17 Uhr, 23.02.2009

Wenn ich die wurzel davon ziehe habe ich doch

h

deswegen wäre das doch eigentlich richtig mit

\sqrt{}

ist wurzel gemeint.
Also die wurzel von dem was in der klammer steht.
Ich versteh aber nicht wieso aus 0.5x² 0.25x² werden soll?

Cauchy09

00:21 Uhr, 23.02.2009

Die Lösung für den maximalen Flächeninhalt ist ein gleichseitiges Dreieck.
Hier ist schonmal die Skizze der Flächeninhaltsfunktion und des Dreiecks für

a = 2

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00:26 Uhr, 23.02.2009

Danke das leuchtet auch ein

max

volumen wenn alle seiten gleich gross sind wie beim quadrat aber leider erklärt es nicht die Funktion aus dem Buch

: (

anonymous

00:29 Uhr, 23.02.2009

also die lösung wäre jetzt meiner meinung nach:

A = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{(0,25 \cdot a^{2} - 0,5 \cdot a \cdot x)}

also sozusagen der hintere teil deiner lösung mit

\cdot 0,5 x

außerhalb der wurzel...

wäre das möglich? oder is sicher alles unter der wurzel?

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00:33 Uhr, 23.02.2009

Also die Funktion steht dort so wie sie in der Klammer ist der Obere Strich von der Wurzel geht aber nur über 0.25a²+0.5ax läuft das auf das gleiche hinaus wie wenn es vor der wurzel steht?

\cdot 0,5 x

ist nicht mit unter dem Strich von der Wurzel steht aber rechts dran ich denk mal das es so ist und deine lösung richtig ist.
Ich bin auch schon ganze zeit am rumprobieren komme aber nur auf A=1/2x⋅

\sqrt{}

(a²-0.5x²).

Cauchy09

00:39 Uhr, 23.02.2009

Jo, ist alles dasselbe und

0,5 x \cdot \sqrt{0,25 a^{2} - 0,5 a x}

ist richtig.

anonymous

00:41 Uhr, 23.02.2009

ja ich dachte erst, die wurzel geht über die alles drüber... also für diese lösung check ichs sogar

\cdot g \cdot

du wendest den pythagoras an:

h^{2} = s^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}

(wie oben schon erklärt)
dann nimmst du wie oben schon angemerkt für

s = \frac{a - x}{2}

her und setzt

s

in die zeile drüber ein

h^{2} = \frac{{(a - x)}^{2}}{4} - {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x - x^{2}}{4} - {(\frac{x}{2})}^{2} = \frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x}{4}

h = \sqrt{\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot x}{4}} = \sqrt{0,25 a^{2} - 0,5 \cdot a \cdot x}

A = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{0,25 a^{2} - 0,5 \cdot a \cdot x} = 0,5 x \cdot \sqrt{0,25 \cdot a^{2} - 0,5 \cdot a \cdot x}

djdeba aktiv_icon

00:47 Uhr, 23.02.2009

Super vielen vielen Dank das passt echt nett sitze schon seit 8 std dran

- . -

ich mir leuchtet das auch ein, bis auf einen punkt warum aus

\frac{a - x}{2}

dann (a-x)²/4 wird

\frac{a - x}{2}

ist doch das gleiche wie

0.5 a - 0.5 x

und das zum Quadrat wegen dem pytagoras dann (0.5a-0.5x)²

anonymous

00:51 Uhr, 23.02.2009

ja doch is schon das gleiche - hab nur wegen der darin enthaltenen binomischen formel halt des

\frac{1}{4}

ausgeklammert - ich rechne halt lieber mit brüchen als mit dezimalzahlen

djdeba aktiv_icon

00:53 Uhr, 23.02.2009

Super Vielen Dank für die Mühe.
Ich mach mich mal ran und versuch mich an ne neue Aufgabe und hoffe das die diesmal reibungslos klappt :-D) vielen dank nochmal.

anonymous

00:54 Uhr, 23.02.2009

kein problem - viel erfolg dann damit :-)

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