 |
 |
 |
 |
 |
 |
Extremwerte bei x^4
Sonstiges
Tags: Extremwert
 
|
  |
|---|
|
Hallo, Ich weiß nicht ganz genau wie ich die Extremwerte aus einer Funktion 4 ten grade rausbekomme. Wir hatten bis dato immer nur funktionen 3ten grades bei denen ich aus der ersten Ableitung die Extrempunkte errechnet habe. Wie schaut das bei Fkt. 4 grades aus? Muss ich da die zweite Ableibung nehmen oder aus der ersten Ableitung durch anwendung der Polynomdivision eine x^2 machen.?
Gruß britt
Ps. danke für die Hilfe
|
| Hierzu passend bei OnlineMathe: |
|
 |
|
letzteres |
 |
|
danke sehr ^^ nur kommt das ganze schon eher hin^^ |
|
|
|
was mache ich denn bitte wenn ich bei der zweiten polynomdivision einen rest rausbekomme kann ich dann überhaupt noch weiter rechnen?? also die Extrempunkte berrechnen? |
|
|
|
Hallo, also irgendwie geht hier einiges schief: "Ich weiß nicht ganz genau wie ich die Extremwerte aus einer Funktion 4 ten grade rausbekomme." "Muss ich da die zweite Ableibung nehmen oder aus der ersten Ableitung durch anwendung der Polynomdivision eine x^2 machen.?" Genauso wie bei Funktionen 3-ten Grades oder beliebigen anderen Funktionen! Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln (notwendiges Kriterium) und auf Minimum bzw. Maximum testen (z.B. durch positivem bzw. negativem Wert der zweiten Ableitung an diesen Stellen; hinreichendes Kriterium) oder durch Untersuchung der ersten Ableitung auf Vorzeichenwechsel an diesen Stellen (von "minus" auf "plus": Minimum; von "plus" auf "minus": Maximum; kein Vorzeichenwechsel: Sattelpunkt). Die erste Ableitung einer Funktion 4ten Grades ist eine Funktion 3-ten Grades. Die Nullstellen zu ermitteln ist entweder mit dem dafür existierenden Verfahren möglich (wird aber in der Schule wegen der Komplexität i.d.R. nur vorgestellt, nicht aber angewandt) oder man muß z.B. durch erraten eine Nullstelle finden und dann mit der ersten Ableitung und dem linearen (x - x_1) die Polynomdivision durchführen um dadurch die erste Ableitung in einen linearen und einen quadratischen Faktor zu zerlegen. Die Division geht dabei immer auf, d.h. es entsteht kein Rest. Erhält man einen Rest, kann man sich aussuchen, wo der Fehler liegt: Entweder war die als Nullstelle verwendete Stelle in Wahrheit gar keine Nullstelle oder man hat sich bei der Polynomdivision verrechnet. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht! "was mache ich denn bitte wenn ich bei der zweiten polynomdivision einen rest rausbekomme kann ich dann überhaupt noch weiter rechnen?? also die Extrempunkte berrechnen?" Was für eine zweite Polynomdivision? Nach der ersten Division erhält man eine Faktorzerlegung der ersten Ableitung in einen linearen Faktor (Divisor der Polynomdivision) und einen quadratischen Faktor (Quotient der Polynomdivision) und letzteren kann man mit p-q-Formel, Mitternachtsformel, quadratischer Ergänzung, ... in zwei lineare Faktoren zerlegen oder nicht (jedenfalls im reellen, im komplexen gibt es natürlich immer 2 lineare Faktoren!). Eine "zweite Polynomdivision" ist nicht nur nicht notwendig sondern absolut überflüssig! |
|
|
|
|
|
|
|
Zitat: Was für eine zweite Polynomdivision? Nach der ersten Division erhält man eine Faktorzerlegung der ersten Ableitung in einen linearen Faktor (Divisor der Polynomdivision) und einen quadratischen Faktor (Quotient der Polynomdivision) und letzteren kann man mit p-q-Formel, Mitternachtsformel, quadratischer Ergänzung, ... in zwei lineare Faktoren zerlegen oder nicht (jedenfalls im reellen, im komplexen gibt es natürlich immer 2 lineare Faktoren!). Eine "zweite Polynomdivision" ist nicht nur nicht notwendig sondern absolut überflüssig!
wie meinst du das?? Ich komme hier grade absolut nicht weiter bei dieser Aufgabe. ich muss bei der Aufgabe die Nullstellen die Extrempunkte sowie Wendepunkte und Wendetangente berrechen.. bei den Nullstellen scheiter ich schon. |
|
|
| 2x^4???oder 2*x*4 |
|
|
|
ist die fkt |
|
|
|
Hallo, f(x) = 2*x^4 - 3*x + 1 Nullstellen: 0 = 2*x^4 - 3*x + 1 Die Summe der Koeffizienten ist Null (2 - 3 + 1 = 0), in solchen Fällen ist immer x = 1 eine Nullstelle! Polynomdivision um weitere Nullstellen zu ermitteln: x_1 = 1 (2*x^4 - 3*x + 1) / (x - 1) = 2*x^3 + 2*x^2 + 2*x - 1 (2*x^4 - 2*x^3)- --------------------- .............. 2*x^3 + 0*x^2 ............. (2*x^3 - 2*x^2)- ............. ---------------------- ............................ 2*x^2 - 3*x ........................... (2*x^2 - 2*x)- ........................... ------------------ .......................................... - 1*x + 1 ......................................... (-1*x + 1)- ......................................... -------------- ...................................................... 0 0 = 2*x^3 + 2*x^2 + 2*x - 1 An dieser Stelle muß man entweder den o.a. komplexen Algorithmus bemühen oder eine Näherungslösung suchen. Ich habe recht schnell als Näherung gefunden: x_2 = 0,3425080313680749 Weitere reelle Nullstellen gibt es nicht, das zeige ich später. Extrempunkte: f'(x) = 8*x^3 - 3 f"(x) = 24*x^2 0 = 8*x^3 - 3 8*x^3 = 3 x^3 = 3/8 x_3 = sqrt_3(3/8) x_3 = 0,72112478515370419116081915539005 f"(x_3) = 24*(sqrt_3(3/8))^2 f"(x_3) = (24*(sqrt_3(3/8))^3)/sqrt_3(3/8) f"(x_3) = (24*3/8)/sqrt_3(3/8) f"(x_3) = 9/sqrt_3(3/8) > 0 --> Minimumstelle f(x_3) = 2*(sqrt_3(3/8))^4 - 3*sqrt_3(3/8) + 1 f(x_3) = 2*(sqrt_3(3/8))^3*(sqrt_3(3/8)) - 3*sqrt_3(3/8) + 1 f(x_3) = 2*(3/8)*(sqrt_3(3/8)) - 3*sqrt_3(3/8) + 1 f(x_3) = 3/4*sqrt_3(3/8) - 3*sqrt_3(3/8) + 1 f(x_3) = (3/4 - 3)*sqrt_3(3/8) + 1 f(x_3) = (3/4 - 12/4)*sqrt_3(3/8) + 1 f(x_3) = -9/4*sqrt_3(3/8) + 1 f(x_3) = -0,62253076659583443011184309962762 Minimumpunkt: (0,72112478515370419116081915539005 ; -0,62253076659583443011184309962762) Die Funktion f(x) geht sowohl für x gegen +oo als auch für x gegen -oo immer gegen +oo. Die Funktion hat genau einen Extrempunkt, einen Minimumpunkt und der Wert an dieser Minimumstelle ist negativ. Also gibt es genau 2 Nullstellen! Genau eine Nullstelle kleiner als x_3 und genau eine Nullstelle größer als x_3. Weitere (reelle) Nullstellen kann es nicht geben! Wendepunkte: f"'(x) = 48*x 0 = 24*x^2 x_45 = 0 f"'(0) = 48*0 = 0 ; Keine Aussage auf diese Art möglich über die Art des Wendepunktes Für x kleiner Null gilt: 0 > x 0 > x^3 0 > 8*x^3 -3 > 8*x^3 - 3 = f'(x) Analog gilt für x größer Null: f'(x) > -3 f'(x_45) = 8*0^3 - 3 = -3 An einer Wendestelle ändert sich der Wert der ersten Ableitung so, daß dort ein lokales Extremum angenommen wird. D.h. es gibt in keiner noch so kleinen Umgebung einer Wendestelle 2 Stellen, an denen die erste Ableitung ein Mal kleiner und ein Mal größer als die Ableitung an der Wendestelle selbst ist. Man sieht hier aber, daß es immer mindestens eine Stelle mit kleinerer und eine Stelle mit größerer Ableitung gibt. Damit ist x_45 = 0 keine Wendestelle und es gibt keine Wendepunkte!!! Damit gibt es auch keine zu berechnende Wendetangente!!! Stimmt denn Deine angegebene Funktion? Oder gibt es da vielleicht noch einen Exponenten am x bei 3*x? |
|
|
|
huhu die fkt stimmt.. danke für die Antwort ich glaube aber irgendwie ich bin zu doof um das zu verstehen.. ..... .... Algorithmus bemühen oder eine Näherungslösung hatten wir noch nicht.. die meisten Aufgaben die wir hatten waren dritten Bei der Ableitung für dei Extrempunkte hast du einfach noch eine Ableitung von der Ableitung gemacht ja. Also du hast schon die aus der funktion kommende erste Ableitung genommen und die dann einfach noch mal abgeleitet oder?
|
|
|
|
Hallo, "Bei der Ableitung für dei Extrempunkte hast du einfach noch eine Ableitung von der Ableitung gemacht ja. Also du hast schon die aus der funktion kommende erste Ableitung genommen und die dann einfach noch mal abgeleitet oder?" Es gibt bei der Ermittlung von Extremstellen ein hinreichendes Kriterium: erste Ableitung an der Stelle ist gleich Null und die zweite Ableitung an dieser Stelle ist ungleich Null! Die zweite Ableitung ist natürlich die erste Ableitung der ersten Ableitung! Ich muß zur Ermittlung der zweiten Ableitung also "einfach noch eine Ableitung von der Ableitung" machen! Ich habe dementsprechend "die aus der funktion kommende erste Ableitung genommen und die dann einfach noch mal abgeleitet"! |
|
|
|
Zitat: erste Ableitung an der Stelle ist gleich Null und die zweite Ableitung an dieser Stelle ist ungleich Null! Wie meinst du das ? Oo *
|
|
|
|
Hallo, "erste Ableitung an der Stelle ist gleich Null und die zweite Ableitung an dieser Stelle ist ungleich Null! Wie meinst du das ?" Genauso, wie es da steht! Wenn ich die Nullstellen der ersten Ableitung ermittelt habe, dann ist an diesen Stellen die erste Ableitung gleich Null, was sonst, heißt ja schließlich NULLSTELLE! Dann ermittelt man den Wert der zweiten Ableitung an diesen Nullstellen der ersten Ableitung und dieser Wert sollte ungleich Null werden. Das reicht aus, damit diese Stellen Extremstellen sind, ausreichen --> hinreichend. Aber um ehrlich zu sein, zeigst Du mit Deiner Nachfrage hier, daß Du extreme Wissenslücken hast. Dir fehlen nahezu alle Grundlagen! Hier im Forum kann man Dir bei einzelnen Aufgaben helfen, was Dir aber nicht wirklich hilft, weil Du selbst die Lösungen nicht verstehst! Ich rate Dir DRINGEND zur Nachhilfe! |
|
|
|
Stimmt da magst du recht haben. Leider in Wuppertal eine kompetent Nachilfe zu finde die ich mir leisten kann ist fast unmöglich.. das heißt ich muss es mir selber beibringen.. und das meiste verstehe ich ja auch.
um auf die geschichte mit gleich null und ungleich null zurück zu kommen. ist das logisch was du sagst. Das würde heißen für die Wendepunkte gilt dann zweite ablietung = 0 dritte Ableitung ungleich 0.
Danke für die hilfe und sorry wenn ich genervt haben sollte. |
|
|
|
Hallo, wenn jemand nervt, dann schreibe ich das auch, ist auch in diesem Forum bereits geschehen, daß ich das dann geschrieben habe. Was die kompetente Nachhilfe angeht, bin ich Verfechter der kollegialen Nachhilfe, d.h. Nachhilfe durch kompetente Mitschülerinnen und Mitschüler. Der Vorteil liegt auf der Hand: - Es vergeht keine zu bezahlende Nachhilfezeit dafür, daß der Nachhilfegebende sich in den aktuellen Stoff und die dafür benutzten Begrifflichkeiten und Darstellungsweisen einarbeiten muß. - Der Preis ist human und kann i.d.R. durch eigene Hilfe auf anderem Gebiet (es sei denn, es handelt sich um ein Universalgenie!) wenigstens teilweise ausgeglichen werden. - Bei akuten Problemen ist schnelle und "unbürokratische" Hilfe noch in der Schule machbar. Denke mal darüber nach, ob es nicht auch in Deiner Schule in Deiner Klassenstufe geeignete Personen gibt! Nachhilfe muß nicht professionell sein, sie muß nur wirksam sein! |
|
|
|
^^ das ist schon passiert. Also in unserer Klasse kann man das Vergessen. glaube in der letzen Arbeit gab es eine 4 <<< me. und der Rest 5 und 6 also eine reine Katastrophe.. und in der jahrgangstufe sieht es nicht deutlich besser aus. dazu kommt noch das die Personen die es können keinen Wert darauf legen ihren Mitschülern zu helfen. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
