Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Faktorenzerlegung

Faktorenzerlegung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Faktorenzerlegung, Funktion

Elwedridsch aktiv_icon

14:24 Uhr, 24.09.2014

Hallo,

ich bin gerade dabei meinen Vorkurs in Mathematik zu machen.
Leider liegt mein Fachabitur auch schon einige Jährchen zurück.
Nun ist mir der Begriff "Faktorenzerlegung" in die Quere gekommen.
Meine Frage: Gibt es dazu eigene Regeln?
Was ist dabei erlaubt?
Wieso macht man das eigentlich?
Außerdem habe ich noch den Satz:"Differenz und Summe, kürzt nur der dumme!" aufgeschnappt.
Auch diese Aussage ist mir nicht ganz klar.
Ich denke schon das ich das irgendwann mal verstanden habe.
Wahrscheinlich brauche ich nur einen Schubs in die richtige Richtung.
Dazu brauche ich euch. :-)

Danke schon mal im voraus.
Gruß
Elwedridsch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Edddi aktiv_icon

14:33 Uhr, 24.09.2014

"Aus Differenzen und Summen, kürzen nur die Dummen":

\frac{35 \cdot b - 2 \cdot a}{17 \cdot a} = \frac{35 \cdot b - 2}{17} -

FALSCH, so darf das a NICHT rausgekürzt werden, weil im Zähler oben eine

Summe steht.

Faktorzerlegung ist das Zerlegen in Faktoren.

Beispiele:

18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^{2} -

hier wurde in Primfaktoren zerlegt. Nützlich beim aufsuchen des kgV und des ggT's.

x^{2} - a^{2} = (x - a) \cdot (x + a)

oder

x^{2} + 2 \cdot x = x \cdot (x + 2) -

Nützlich beim kürzen oder Nullstelleberechnung

\frac{x^{2} - a^{2}}{x - a} = \frac{(x - a) \cdot (x + a)}{x - a} = x + a

x^{2} + 2 \cdot x = 0

x \cdot (x + 2) = 0,

also muss

x = 0

oder

x = - 2

sein.

;-)

supporter aktiv_icon

14:37 Uhr, 24.09.2014

Faktorzerlegung bedeutet "ein Produkt erzeugen":

Beispiel:

x^{2} + 2 x = x \cdot (x + 2)

x^{2} + 8 x + 16 = {(x + 4)}^{2}

(Binom. Formel)

Man versucht dabei immer maximal auszuklammern:

20 x^{8} y^{6} - 10 x^{5} y^{9} = 10 x^{5} y^{6} + (2 x^{3} - y^{3})

Elwedridsch aktiv_icon

15:12 Uhr, 24.09.2014

Ok,
eure Ergebnisse konnte ich eigentlich problemlos verstehen und nachvollziehen.
Gibt es so etwas wie eine Anleitung zur Faktorenzerlegung.
So etwas wie: Als erstes sollte man versuchen....., wenn das nicht geht dann...., und wenn das nicht hinhaut dann..... ..
Ich kann mir Dinge einfach besser merken wenn ich so zu sagen eine Liste in meinem Kopf abhaken kann.
Manchmal gibt es einfach Aufgaben wo ich das machen soll, da weiß ich wie es geht aber am Ende habe ich doch ein falsches Ergebnis stehen. Ein schönes Beispiel ist diese Aufgabe:

K \cdot (1 + r) + K \cdot (1 + r) \cdot r

Gruß
Elwedridsch

supporter aktiv_icon

15:17 Uhr, 24.09.2014

In beiden Summanden kommt

K \cdot (1 + r)

vor. Das kann man folglich ausklammern:

[K \cdot (1 + r)] \cdot (1 + r) = K \cdot {(1 + r)}^{2}

Elwedridsch aktiv_icon

15:41 Uhr, 24.09.2014

Also ich glaube bei der Aufgabe stehe ich ein bischen auf dem Schlauch.

supporter aktiv_icon

16:07 Uhr, 24.09.2014

Bitte konkrete Fragen stellen. Was ist unklar.
Bedenke: Die

1

in der 2.Klammer entsteht, wenn man

K \cdot (1 + r)

aus sich selbst ausklammert.

\frac{K \cdot (1 + r)}{K \cdot (1 + r)} = 1

Einfacheres Beispiel:

a - a^{2} = a \cdot (1 - a)

\frac{a}{a} = 1

und

\frac{a^{2}}{a} = a

Elwedridsch aktiv_icon

16:17 Uhr, 24.09.2014

Hi,
sorry.

K \cdot (1 + r)

Sind das nicht zwei Faktoren?
Kann ich die nicht auf beiden Seiten des

+

Zeichens ausklammern.

Wie wenn ich sage:

a \cdot b + a \cdot c

/der gemeinsame Faktor ist a

a \cdot (b + c)

Auf meine Aufgabe bezogen würde es dann heißen:

(K \cdot (1 + r)) \cdot r

(weil das

r

am Schluss ist ja das einzige was ich nicht ausklammern kann)

Bei dir ist aber die Lösung nach diesem Schritt:

[

K⋅(1+r)]⋅(1+r)=K⋅(1+r)2

Was sit da bei mir falsch gelaufen?
Irgendwo muss ich doch einen Fehler gemacht haben.

Gruß
Elwedridsch

supporter aktiv_icon

16:31 Uhr, 24.09.2014

Man kann auch mehr Faktoren, zu denen auch Terme in Klammern gehören können, ausklammern, wenn diese in den Termen( hier = den Summanden), aus denen man ausklammert,vorkommen.

K \cdot (1 + r)

ist enthalten in

K \cdot (1 + r),

also in sich selbst, und in

K \cdot (1 + r) \cdot r

.
Daher habe ich eine eckige Klammer um das, was ausgeklammert werden kann, gesetzt, weil das Ausgeklammerte selbst einen Klammerterm enthält. Klingt verwirrend, ich weiß.
Aber anders kann man das wohl kaum erklären.
Das Problem hier ist: Man klammert sowohl eine Variable, hier das

K,

als auch einen Klammerterm, hier

(1 + r),

gleichzeitig aus den Summanden aus.

Noch ein Beispiel:

a \cdot (b + c) + a x \cdot (b + c) = [a \cdot (b + c)] \cdot (1 + x)

Elwedridsch aktiv_icon

16:50 Uhr, 24.09.2014

Was du geschrieben hast habe ich verstanden.
Aber ich kann es nicht in Bezug zu deinem Ergebnis setzen.
Das mit den Klammern habe ich auch verstanden.
Aber wieso steht bei mir: (K⋅(1+r))⋅r und bei dir:

[

K⋅(1+r)]⋅(1+r)?
Wo kommt bei dir diese 1 im zweiten Faktorterm im Ergebnis her?
Da steht doch nur noch ein

r

wenn ich alles andere aus dem Ausgangsterm ausgeklammert habe.
Und da ich diese 1 nicht habe kann ich auch kein Quadrat an die Klammer im Ergebnis schreiben.
Ich hoffe du verstehst meine Problematik.
Und danke für deine Geduld!
Gruß
Elwedridsch

supporter aktiv_icon

17:05 Uhr, 24.09.2014

Du hast 2 Summanden:

a) K \cdot (1 + r)

b) K \cdot (1 + r) \cdot r = K \cdot r \cdot (1 + r)

Beiden ist "maximal" gemeinsam:

K \cdot (1 + r)

.

Jetzt ziehen wir dieses

K \cdot (1 + r)

aus beiden Summanden raus,klammern sie also aus.

Dann bleibt nach dem Ausklammern bei a noch

1,

bei

b

noch

r

als "Rest" in der Klammer übrig.

Vgl:

Wenn du aus

a + a^{2} b

das a ausklammerst, bleibt für das auszuklammernde a eine

1

in der Klammer stehen:

a + a^{2} b = a \cdot (1 + a b)

Elwedridsch aktiv_icon

17:14 Uhr, 24.09.2014

Und genau da liegt mein Problem:
Ich verstehe nicht wieso bei Summand

a)

eine 1 stehen bleibt.
Ich meine wenn ich von

K \cdot (r + 1) K \cdot (r + 1)

ausklammere, bleibt doch gar nichts stehen.
Oder muss ich um den Term auszuklammern, selbigen durch sich selbst rechnen (also dividieren)?
Ich habe irgendwie da Gefühl das mir in dieser Hinsicht Grundlagen fehlen die ich mir gerade wieder erarbeite.
Gruß
Elwedridsch

supporter aktiv_icon

17:23 Uhr, 24.09.2014

"Oder muss ich um den Term auszuklammern, selbigen durch sich selbst rechnen (also dividieren)?"

Volltreffer. Genau darum geht es. Ich hatte das oben schon erwähnt.
Und das Ergebnis dieser Divsion ist eben 1 und diese 1 landet in der Klammer.Es kann nicht sein, dass "nichts stehen bleibt". Hier lag offenbar dein Denkfehler.Dieser Fehler wird oft gemacht.

Elwedridsch aktiv_icon

17:27 Uhr, 24.09.2014

Juchuu
Jetzt habe ich's kapiert.
Ich danke dir.
Du sagst du hast das schon erwähnt.
Das muss ich wohl im Eifer des Gefechts überlesen haben.
Tut mir Leid.
Manchmal bin ich anstrengend. ;-)

Und wenn ich einen Term habe bei dem die Faktoren eben nicht gleich sind, sondern durch eine gemeinsame Zahl dividiert werden können, muss ich eben genau das tun und das Ergebniss dieser Division bleibt dann stehen. Oder?
Cool
Wie gesagt: Danke noch mal für deine Hilfe

supporter aktiv_icon

17:32 Uhr, 24.09.2014

Das verstehe ich nicht ganz. Bitte erläutere es an einem Beispiel.

Elwedridsch aktiv_icon

17:39 Uhr, 24.09.2014

Zum Beispiel :
-18b²+9ab

Ein gemeinsamer Faktor ist

b

und die zahlen

- 18

und 9 kann ich beide durch 3 teilen.

Also sage ich:

- \frac{18}{3} \cdot \frac{b}{b} + \frac{9}{3} \cdot a \cdot \frac{b}{b}

Ergebnis dieser Divisionen:

- 6 \cdot b + 3 \cdot a \cdot 1

Die 1 fällt weg, da

3 \cdot a = 3 \cdot a \cdot 1

Am Ende steht also da:

3 b \cdot (- 6 b + 3 a)

Liege ich da richtig?

supporter aktiv_icon

18:03 Uhr, 24.09.2014

Das Ergebnis stimmt, aber dein Weg ist etwas seltsam.

Warum klammerst du nicht mehr aus ?
In beiden Summanden steckt doch

9 b

\frac{- 18 b^{2}}{9 b} = - 2 b^{2}

\frac{9 a b}{9 b} = a

- - \to 9 b \cdot (- 2 b^{2} + a)

Denk daran: Immer das Maximale ausklammern sowohl bei Zahlen als auch bei Variablen.

100 a^{5} b^{6} + 50 a^{3} b^{2} = 50 a^{3} b^{2} \cdot (2 a^{2} b^{4} + 1)

Elwedridsch aktiv_icon

18:54 Uhr, 24.09.2014

Ok.
Das war das Ergebnis das wir im Vorkurs genannt bekommen haben.
Nur der Weg dorthin wurde nicht richtig erklärt.
Aber dein Ergebnis ist natürlich absolut korrekt.
Ich habe gerade noch einmal nachgerechnet und gebe dir recht.

supporter aktiv_icon

19:14 Uhr, 24.09.2014

Du kannst die leicht überprüfen, ob dein Ergebnis stimmt, indem du wieder ausmultiplizierst:

9 b \cdot (- 2 b^{2} + a) = 9 b \cdot (- 2 b^{2}) + 9 b \cdot a = - 18 b^{2} + 9 a b

Elwedridsch aktiv_icon

19:29 Uhr, 24.09.2014

Ok, ich bin mir sicher jetzt habe ich verstanden.
Ich danke allen die mir dabei geholfen haben.
Gruß
Elwedridsch

1186533

1186428

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?