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Faltung einer Funktion mit sich selbst

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Tags: Faltung, Faltungsintegral, Folgen und Reihen, Integration

Vicinus aktiv_icon

20:32 Uhr, 09.12.2015

Hallo liebe OnlineMathe-Gemeinde,

ich habe ein Problem bei der Lösung folgender Aufgabe:
Ich soll eine Impulsantwort hg eines Gesamtsystems berechnen, das aus zwei gleichen Impulsantworten

h (t) = (t + 1) [u (t + 1) - u (t - 2)]

besteht(u ist der zeitkontinuierliche Einheitssprung), sprich aus der Faltung

h (t) ⋆ h (t)

. So wie ich das sehe ist die Funktion erstmal nichts anderes als ein Rechteckimpuls der Höhe

1,

zentriert um

0,5

von

t = - 1

bis

t = 2,

multipliziert mit der Funktion

t + 1

(sh. Grafik). So bin ich jetzt vorgegangen:

Für

t < - 2

gilt:

h (t) ⋆ h (t) = 0

Für

- 2 \leq t < 1

gilt:

h (t) ⋆ h (t) = \int_{- 2}^{t + 1} (τ + 1) (t - τ + 1) d τ = \frac{1}{6} t \cdot {(t + 3)}^{2},

zumindest nach meiner Rechnung. Aber in der Musterlösung heißt es für diesen Bereich:

h (t) ⋆ h (t) = \frac{1}{6} \cdot {(2 + t)}^{3}

und ich komm nicht drauf, wo der Fehler liegt.
Auch beim nächsten Intervall stimmt bei mir was nicht:
Für

1 \leq t < 4

gilt:

h (t) ⋆ h (t) = \int_{t - 2}^{4} (τ + 1) (t - τ + 1) d τ = - \frac{t^{3}}{6} - t^{2} - 15 t + 18

in der Musterlösung heißt es aber:

h (t) ⋆ h (t) = - t^{3} - t^{2} + 7 t - \frac{4}{3}

.
Habe ich etwas bei den Intervallgrenzen falsch gemacht, stimmt etwas mit der Musterlösung nicht(rechenweg ist leider nicht angegeben) oder haperts einfach bei der Rechnung?

Vielen, vielen Dank im Voraus, ich hock hier schon ne Ewigkeit dran^^

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Vicinus aktiv_icon

02:55 Uhr, 11.12.2015

Hat keiner einen kleinen Hinweis für mich? Ich hab mir jetzt schon Stunden daran den Kopf zerbrochen, würde mich wirklich über jede noch so kleine Hilfe freuen :-)

DrBoogie aktiv_icon

08:01 Uhr, 11.12.2015

"So wie ich das sehe ist die Funktion erstmal nichts anderes "

Wie sollen wir beurteilen, ob Du das richtig siehst?
Poste die Originalaufgabe, am besten als Bild.

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