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Fehlende Fläche

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrie

Sukomaki aktiv_icon

15:47 Uhr, 19.10.2024

Hallo,

ich habe die Tage ein schönes Rätsel von MathemaTrick auf YouTube (kennt Ihr bestimmt) gelöst,
wollte dann aber keinen Kommentar schreiben, weil zum einen das Video schon zwei Jahre alt ist
und zum anderen YouTube kein Latex unterstützt, um meinen Lösungsweg darzustellen :-D)

Gegeben ist ein Quadrat das in vier unregelmäßige Vierecke unterteilt ist.

Des weiteren sollen zwei Punkte der Vierecke jeweils auf der Mitte der Kanten des Quadrates liegen (siehe linke Skizze).

Gesucht ist die weiße Fläche.

Bis MathemaTrick verraten hat, dass die Punkte der Vierecke auf der Mitte der Kanten liegen, habe ich ziemlich wilde Vermutungen angestellt. Ich dachte : "Da fehlen doch Informationen" :-D)

Vorüberlegungen :

Die gesuchte Fläche

D

ist eine natürliche Zahl. Diese Beschränkung ist aber nicht explizit gefordert.

Die Ungleichung

K^{2} > 20 + 32 + 16

(wobei

K^{2}

die Gesamtfläche ist) erwies sich ebenfalls als auf einen Irrweg führend.

Dann fiel mir ein, dass es eher einfach ist, wenn ich die gegebenen Flächen in zwei Dreiecke,
die die schöne Eigenschaft haben, dass jeweils eines der Dreiecke rechtwinklig und gleichschenklig
ist, unterteile.

Vorbereitung :

Ich unterteile ein Quadrat in vier Dreiecke gemäß eines Schnittpunktes

S

. (siehe mittlere Skizze)

Jetzt möchte ich eine Beziehung zwischen den Flächen

E, F, G

und

H

herstellen.

In dem Quadrat gilt :

h_{1} = e_{1}

h_{2} = e_{2}

x = e_{1} + e_{2}

g_{1} = f_{1}

g_{2} = f_{2}

x = f_{1} + f_{2}

x = e_{h} + h_{h}

x = f_{h} + g_{h}

E, F, G

und

H

lassen sich als Summe zweier rechtwinkliger Dreiecke ausdrücken :

E = \frac{1}{2} (e_{1} e_{h} + e_{2} e_{h})

F = \frac{1}{2} (f_{1} f_{h} + f_{2} f_{h})

G = \frac{1}{2} (g_{1} g_{h} + g_{2} g_{h}) = \frac{1}{2} (f_{1} (x - f_{h}) + f_{2} (x - f_{h}))

H = \frac{1}{2} (h_{1} h_{h} + h_{2} h_{h}) = \frac{1}{2} (e_{1} (x - e_{h}) + e_{2} (x - e_{h}))

\Rightarrow

F + G = \frac{1}{2} (f_{1} + f_{2}) x = \frac{1}{2} x^{2}

E + H = \frac{1}{2} (e_{1} + e_{2}) x = \frac{1}{2} x^{2}

\Rightarrow

F + G = E + H

\Leftrightarrow

H = F + G - E

D.h. Es ist möglich, die fehlende Fläche zu berechnen, ohne den Schnittpunkt zu kennen.

Des weiteren gilt :

H + λ = (F + λ) + (G + λ) - (E + λ)

D.h. : Ich kann etwas auf alle Flächen aufschlagen, ohne dass die Beziehung sich ändert.

Übergang zu der eigentlichen Aufgabenstellung :

Das in

A_{2}, B_{2}, C_{2}

und

D_{2}

zerlegte Rechteck ist ein gedrehtes, eingeschriebenes Quadrat. (siehe rechte Skizze)

Durch Drehung ändern sich die Flächen nicht.

Es gilt die Beziehung

D_{2} = B_{2} + C_{2} - A_{2}

und

λ = A_{1} = B_{1} = C_{1} = D_{1}

Somit auch

D = B + C - A

.

Die fehlende Fläche hat demnach eine Größe von

32 m^{2} + 16 m^{2} - 20 m^{2} = 28 m^{2}

.

Als schmückendes Beiwerk ist die Kantenlänge

K = \sqrt{96}

und somit

A_{1} = B_{1} = C_{1} = D_{1} = \frac{K^{2}}{8} = 12

.

Ich hätte erwartet, dass

K \in ℕ

. War dann aber doch nicht so.

Kennt jemand einen anderen Lösungsweg?

Gruß
Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

HAL9000

16:49 Uhr, 19.10.2024

Eine bessere Idee habe ich auch nicht, aber man kann das ganze weniger formellastig "verkaufen":

Vorüberlegung: Teilt man ein Dreieck in zwei Teildreiecke, indem man den Mittelpunkt einer Seite mit dem gegenüberliegendem Punkt verbindet, so besitzen beide Teildreiecke dieselbe Fläche, nämlich

\frac{g \cdot h}{4}

mit Seitenlänge

g

und Höhe

h

auf dieser Seite.

Damit gilt laut beiliegender Skizze

F_{1} + F_{4} = 16

F_{3} + F_{4} = 20

F_{2} + F_{3} = 32

und somit für die gesuchte Fläche

F_{1} + F_{2} = (F_{1} + F_{4}) + (F_{2} + F_{3}) - (F_{3} + F_{4}) = 16 + 32 - 20 = 28

abakus

17:29 Uhr, 19.10.2024

Werden die Teildreiecke wie in deiner Skizze benannt, so gilt
A2+D2 = C2+B2.
Wegen A2 = C2 + 4 und D2 = C2+16 folgt daraus

D2 = C2 + 12 und damit auch insgesamt D = C + 12 = 28.

Sukomaki aktiv_icon

17:48 Uhr, 19.10.2024

@abakus

>

A_{2} = C_{2} + 4

Wie das?

Ich sehe nicht wie Du

A_{2}

und

C_{2}

auf diese Weise in Beziehung setzen kannst.

Kannst Du Deine Schritte bitte begründen?

@Hal9000

Genau so hat es MathemaTrick auch gemacht. :-)

HAL9000

17:48 Uhr, 19.10.2024

Ich merke mal noch an, dass die Voraussetzung "Quadrat" hier gar nicht benötigt wird:

Es reicht aus, ein beliebiges konvexes Ausgangsviereck zu haben, bei dem die vier Seitenmitten mit einem Punkt im Innern verbunden werden, was die Teilung in die vier Teilvierecke bewirkt.

abakus

18:20 Uhr, 19.10.2024

A ist um (16-12 = ) 4 m² größer als C.
Da A1 und C1 gleich groß sind, kann der Unterschied vom 4 m² nur dadurch begründet werden, dass A2 um 4m² größer ist als C2.

Sukomaki aktiv_icon

19:00 Uhr, 19.10.2024

Ja, richtig.

Aber was ist mit

A_{2} + D_{2} = B_{2} + C_{2}

?

Benutzt Du da in Deinem Beweis nicht ein Zwischenresultat von mir ohne es zu erwähnen?

Nur um sicher zu gehen, dass mir da ein einfacher Zusammenhang nicht entgangen ist. :-)

Und noch eine Kleinigkeit :

> Wegen

D_{2} = C_{2} + 16

Ich nehme an, daß soll

B_{2} = C_{2} + 16

heißen.

In Deiner Skizze ist es ja dann richtig.

abakus

19:26 Uhr, 19.10.2024

Die Dreiecke A2, B2, C2 und D2 haben kongruente Grundseiten.
Die Summe der Höhen von A2 und D2 ist gleich der Summe der Höhen von B2 und C2.

Ich bin echt verwundert. Du bringst hier massenhaft Beiträge auf höchstem Niveau, wo ich weder Frage noch Antwort verstehe. Aber beim Erkennen elementarer geometrischer Sachverhalte tust du dich schwer.

Sukomaki aktiv_icon

19:52 Uhr, 19.10.2024

Lieber abakus,

das hast Du richtig erkannt.

Mir wohnen zuweilen widersprüchliche Züge inne.

Seit jeher denke ich viel zu kompliziert.

Das hat mich in die Lage versetzt, als Fünfjähriger eine Seite des Zauberwürfels zu lösen.

Auf der anderen Seite hat es mich z.B. daran gehindert eigenständig zu beweisen, dass

a^{φ (p)} \equiv 1 m o d p

, obwohl das ein Fünfzeiler ist. :-(

Als ich ihn gesehen habe konnte ich ihn natürlich nachvollziehen :-)

Ich weiß nicht, inwieweit das als Teil der Persönlichkeit wegzutrainieren geht, aber ich arbeite daran.

Bis dahin muss ich es akzeptieren.

Gruß
Sukomaki

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