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Fläche zwischen Raute und Ellipse soll minimal wer
Sonstiges
Tags: Extremwertaufgaben, Rabatte
 
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Hallo, nun komm ich zu einem der letzten Beispiele. Es erscheint mir auch etwas anspruchsvoller als die bisherigen. Aufgabe: Um eine Rabatte, die die Form einer Ellipse mit den Achsen und hat, sollen gerade Gehwege so gebaut werden, dass sie die Rabatte berühren und die Fläche zwischen Wegen und Rabatten möglichst klein wird (siehe Skizze). Wie müssen die Gehwege gelegt werden. Skizze: siehe unten Idee: Wenn die Ellipse . wird ist die Fläche zwischen Raute und Ellipse am kleinsten. Ist das Sinn der Aufgabe? Und warum sagt man zur Ellipse auch Rabatte? Kenne das Wort nicht und hatte auch mit meinen Recherechen keinen Erfolg. Grüße  |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff) Flächenberechnung durch Integrieren |
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Ja die Fläche zwischen Ellipse und Raute soll am kleinsten werden. So hätte ich das auch verstanden. Aber eine Rabatte ist kein anderer Begriff für eine Ellipse. Eine Rabatte ist ein Beet (kleine Ziergrünfläche). Es heißt also das Beet soll in Form einer Ellipse gemacht werden. |
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Also wäre die Zielfunktion die Differenz aus Rautenfläche und Ellipsenfläche. Wie komme ich aber zur Ellipsen- und Rautenfläche? ich muss ja alles in Abhängigkeit einer einzigen Variablen angeben. Wie stellt man das hier am besten an? Grüße |
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Nach meiner Rechnung trifft die rechte obere Seite der Raute die x-Achse bei 40m*sqrt(2) und die y-Achse bei 20m*sqrt(2).
GRUSS, DK2ZA
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Hallo DK2ZA, bei dieser Aufgabe bräuchte ich ein wenig mehr Hilfe. ist die Behauptung richtig, das ich die Differenzfläche von Raute und Ellipse minimieren muss? Wenn ja, wie macht man sowas? wie sehen die Abhängigkeiten der Variablen aus? Grüße |
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Ist die Behauptung richtig, das ich die Differenzfläche von Raute und Ellipse minimieren muss?
Ja, aber da die Fläche der Ellipse konstant ist, kannst du einfach die Fläche der Raute minimieren.
So geht's:
Ellipsengleichung:
x²/a² + y²/b² = 1 dabei ist a=40m und b=20m
Gleichung der oberen Ellipsenhälfte:
f(x) = b*sqrt(1-x²/a²)
f '(x) = -b*x/(a*sqrt(a²-x²))
Nun wählen wir auf der Ellipse im ersten Quadranten den Berührpunkt zwischen Ellipse und Raute: P(x0|y0), wobei y0 = b/a * sqrt(a²-x0²) ist.
Durch diesen Punkt legen wir eine Tangente an die Ellipse. Diese ist eine Seite der gesuchten Raute und schneidet die x-Achse bei a²/x0 und die y-Achse bei
b/a * sqrt(a²-x0²) + b*x0²/(a*sqrt(a²-x0²))
Das Produkt dieser beiden Größen soll minimal werden. Dazu leitet man es nach x0 ab und setzt diese Ableitung gleich Null. Das Ergebnis ist x0 = a/sqrt(2)
Damit ist die Aufgabe gelöst.
Beschäftige dich mal eine Weile damit. Wenn noch etwas unklar ist...einfach fragen!
GRUSS, DK2ZA
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Hallo DK2ZA, vielen Dank erstmal. bis zur ersten Ableitung habe ich kein Problem und erhalte selbiges. Zitat DK2ZA: Nun wählen wir auf der Ellipse im ersten Quadranten den Berührpunkt zwischen Ellipse und Raute: wobei sqrt(a²-x0²) ist. ich bin mir nicht ganz sicher wie Du das gemacht hast. ich kenne dazu die folgende Varinate: ich berechne mir die Schnittpunkte der Raute mit der Achse und mit der y-Achse. Daraus erstelle ich dann die Tangentengleichung. Hast Du das auch so gemacht? Grüße |
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f(x) = b*sqrt(1-x²/a²) = b/a * sqrt(a²-x²)
Ableitung: f '(x) = -b*x/(a²*sqrt(1-x²/a²)) = -b*x/(a*sqrt(a²-x²))
Nun wählen wir auf der Ellipse im ersten Quadranten den Berührpunkt zwischen Ellipse und Raute: P(x0|y0), wobei y0 = b/a * sqrt(a²-x0²) ist.
Durch diesen Punkt legen wir eine Tangente an die Ellipse.
Steigung der Ellipse in P: m = -b*x0/(a*sqrt(a²-x0²))
Gleichung der Tangente durch P: g(x) = m*x + t
Steigung einsetzen: g(x) = -b*x0/(a*sqrt(a²-x0²)) * x + t
Zur Bestimmung von t verwenden wir, dass die Tangente durch P gehen muss: b/a * sqrt(a²-x0²) = -b*x0/(a*sqrt(a²-x0²)) * x0 + t t = b/a * sqrt(a²-x0²) + b*x0/(a*sqrt(a²-x0²)) * x0 t = b/a * sqrt(a²-x0²) + b*x0²/(a*sqrt(a²-x0²)) t = b/a * (sqrt(a²-x0²) + x0²/sqrt(a²-x0²) t = b/a * (a²-x0² + x0²)/sqrt(a²-x0²) t = b/a * a²/sqrt(a²-x0²) t = a*b/sqrt(a²-x0²)
Also lautet die Gleichung der Tangente durch P g(x) = -b*x0/(a*sqrt(a²-x0²)) * x + a*b/sqrt(a²-x0²)
Diese soll eine Seite der gesuchten Raute werden.
Wir verschieben nun P auf der Ellipse im ersten Quadranten, bis die von der Tangente und den Koordinatenachsen
Um P zu verschieben variieren wir x0 und berechnen die Dreiecksfläche in Abhängigkeit von x0.
Dazu brauchen wir die Schnittpunkte der Tangente mit den Koordinatenachsen.
Schnitt mit der y- Achse bei x=0: g(0) = a*b/sqrt(a²-x0²)
Schnitt mit der x-Achse bei g(x)=0: 0 = -b*x0/(a*sqrt(a²-x0²)) * x + a*b/sqrt(a²-x0²) b*x0/(a*sqrt(a²-x0²)) * x = a*b/sqrt(a²-x0²) x = a*b/sqrt(a²-x0²) / (b*x0/(a*sqrt(a²-x0²))) x = a²/x0
Die Dreiecksfläche ist A(x0) = 1/2 * a²/x0 * a*b/sqrt(a²-x0²) A(x0) = a³*b/(2*x0*sqrt(a²-x0²))
Die Ableitung dieser Funktion nach x0 liefert A'(x0) = a³*b/(2*(a²-x0²)*sqrt(a²-x0²)) - a³*b/(2*x0²*sqrt(a²-x0²))
Um das Minimum der Dreiecksfläche zu finden, setzt man A'(x0) = 0 und erhält 0 = a³*b/(2*(a²-x0²)*sqrt(a²-x0²)) - a³*b/(2*x0²*sqrt(a²-x0²)) a³*b/(2*(a²-x0²)*sqrt(a²-x0²)) = a³*b/(2*x0²*sqrt(a²-x0²)) a²-x0² = x0² 2*x0² = a² x0 = a/sqrt(2)
Den Nachweis, dass hier wirklich ein Minimum vorliegt (A''(x0) muss größer als Null sein) sparen wir uns.
Damit haben wir die Koordinaten des Berührpunktes x0 = a/sqrt(2) y0 = b/a * sqrt(a²-x0²) = b/a * sqrt(a²-a²/2) = b/a * a/sqrt(2) = b/sqrt(2)
und den Schnittpunkt der Tangente (= Seite der Raute) mit der x-Achse a²/x0 = a²/(a/sqrt(2)) = a*sqrt(2) hier: 40m * sqrt(2) = 56,57m
und den Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse a*b/sqrt(a²-x0²) = a*b/sqrt(a²-a²/2) = a*b/(a/sqrt(2)) = b*sqrt(2) hier: 20m * sqrt(2) = 28,28m
Die Gesamtfläche der Raute ist Ages = 2 * a*sqrt(2) * b*sqrt(2) = 4*a*b hier: Ages = 4 * 40m * 20m = 3200m²
Die Ellipsenfläche ist Aell = a*b*Pi hier: Aell = 40m * 20m * Pi = 2513,27m²
GRUSS, DK2ZA
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