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Folgenstetige Abbildung, die nicht stetig ist
Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Folgenstetigkeit, Mengentheoretische Topologie, Stetigkeit, Topologie
 
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe bekommen: Wir haben zwei Topologien: 1) die diskrete Topologie 2) T:= E abzählbar oder endlich Und eine Funktion die einfach auf schickt. Ich soll zeigen, dass diese folgenstetig, aber nicht stetig ist. Sehe ich das richtig, dass die "Schwierigkeit" der Aufgabe darin besteht, die Folgenstetigkeit zu zeigen? Denn es gilt ja dass z.B. eine offene Menge in der diskreten Topologie ist, d.h. das Urbild müsste es auch sein, ist es aber nicht und damit ist die Funktion doch schon nicht stetig, oder? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, gib doch bitte den zwei verschiedenen topologischen Räumen eigene Namen, damit man über sie reden kann. So kann man nicht wissen, von wo nach wo deine Abbildung gehen soll. Gruß ermanus |
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Hallo Aegon! Ich errate deine Aufgabe wie folgt (bitte beim nächsten mal die Aufgabenstellung wörtlich wiedergeben!): Wir betrachten auf der Menge die diskrete Topologie und die Topologie . Zeigen Sie, dass die Abbildung folgenstetig, aber nicht stetig ist, wenn man den Definitionsbereich mit der Topologie T und den Zielbereich mit der Topologie S versieht. " Sehe ich das richtig, dass die "Schwierigkeit" der Aufgabe darin besteht, die Folgenstetigkeit zu zeigen? " Ja, so sehe ich das auch. " Denn es gilt ja dass z.B. {1} eine offene Menge in der diskreten Topologie ist, d.h. das Urbild müsste es auch sein, ist es aber nicht und damit ist die Funktion doch schon nicht stetig, oder? " Genau. (Ich würde noch erwähnen, dass das Urbild lautet und das es deshalb nicht in T liegt, weil gilt und die Annahme, es gäbe eine abzählbare oder endliche Menge mit auf den Widerspruch führen würde, dass als Vereinigung zweier abzählbarer bzw. endlicher Mengen selbst wieder endlich oder abzählbar wäre.) Zur Folgenstetigkeit: Sei also eine Folge reeller Zahlen, die bezüglich gegen eine reelle Zahl konvergiert. Zu zeigen ist, dass dann auch bezüglich gegen konvergiert. Betrachte nun neben der Definition der Folgenkonvergenz mal die Menge aller Folgeglieder, die nicht den Wert x haben... Viele Grüße Tobias |
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Hallo, ja, tut mir Leid, ich weiß auch nicht wieso ich das so unvollständig gemacht habe. Vielen Dank, das beantwortet meine Frage! Diesen Tipp haben wir übrigens auch in der Aufgabe :-) Ich hab noch keine Lösung aber das will ich erstmal selbst versuchen, ich wollte nur gucken ob ich nicht komplett etwas falsch verstehe. LG |
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