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Formel von Moivre

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Formel von Moivre, Komplexe Zahlen

biabro aktiv_icon

09:57 Uhr, 05.08.2022

Hallo zusammen,

ich benötige Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Formel von Moivre:
Zeigen Sie mithilfe der Formel von Moivre das gilt: sin(3phi)=3cos²(phi)sin(phi)-sin³(phi). Bestimmen Sie dazu für z=cos(phi)+isin(phi) die Potenz z³ einerseits mithilfe der Formel von Moivre und andererseits durch Anwenden der binomischen Formel. Vergleichen Sie anschließend Imaginär- und Realteile.

Die Formel von Moivre ist bekannt, ebenso wie die binomischen Formeln. Die Bedeutung von Imaginär- und Realteil ist auch klar. Aber: Ich finde keinen Ansatzpunkt, um die

o

g

. Aufgabe zu beweisen.

Für Lösungsansätze und Erklärungen der Aufgabenstellung bedanke ich mich im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

michaL aktiv_icon

10:27 Uhr, 05.08.2022

Hallo,

es geht um

z = \cos (φ) + i \cdot \sin (φ)

und

z^{3}

.

Kannst du das berechnen?

Die noch fehlende Info könnte sein, dass

z^{3} = \cos (3 φ) + i \sin (3 φ)

andererseits(!) gilt. (Bei der Multiplikation komplexer Zahlen multiplizieren sich die (Polar-)Radien, während sich die (Polar-)Winkel addieren.

Du musst also

z^{3}

per Hand berechnen (einerseits) und mit dem Term oben (andererseits) vergleichen!

Mfg Michael

HAL9000

10:39 Uhr, 05.08.2022

> Vergleichen Sie anschließend Imaginär- und Realteile.

Wobei für die

\sin (3 φ)

-Formel dann offenbar ein Vergleich der Imaginärteile genügt. Der Vergleich der Realteile liefert eine entsprechende Formel für

\cos (3 φ)

biabro aktiv_icon

10:58 Uhr, 05.08.2022

z^{3}

würde ich folgendermaßen berechnen:

z^{3} = r^{3} \cdot (cos (3 φ) + i sin (3 φ))

. Für

r^{3}

würde ich die wurzel aus

{cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ)

einsetzen, davon die 3. Potenz.

michaL aktiv_icon

11:09 Uhr, 05.08.2022

Hallo,

nein.

Dass

(\cos (φ) + i \cdot \sin (φ))^{3} = \cos (3 φ) + i \cdot \sin (3 φ)

gemäß de Moivre gilt, ist unbestritten.
Dass ist "einerseits".

Andererseits kann man

(\cos (φ) + i \cdot \sin (φ))^{3}

per Hand ausmultiplizieren. Ich würde in diesem Zusammenhang übrigens weniger von binomischer Formel als von binomischem Lehrsatz sprechen.

Um dem vorgegebenem Weg weiter zu folgen, müsstest du von den so erhaltenen beiden Termen für

(\cos (φ) + i \cdot \sin (φ))^{3}

die Imaginärteile vergleichen.

Im Prinzip hast du so etwas wie

z^{3} = A

einerseits und

z^{3} = B

andererseits (d.h. auf zwei verschiedenen Wegen).
Dann muss aber

A = B

gelten und (vor allem)

Im (A) = Im (B)

, was die Formel ist, die du beweisen sollst.
(Natürlich musst du

A

und

B

noch mit Gehalt füllen...)

MfgM Michael

biabro aktiv_icon

11:18 Uhr, 05.08.2022

Die Antwort hat mir schon sehr geholfen.

Aber wieso steht in der Moivre Formel kein r?

Ich kann nachvollziehen, dass Im(A)=Im(B) ist. Aber wie komme ich von diesem Standpunkt aus zu der angegeben Formel?

michaL aktiv_icon

11:24 Uhr, 05.08.2022

Hallo,

du kannst ein

r

mit einbauen. Es wird sich aber ohnehin herauskürzen. Um das zu "sehen", solltest du es vielleicht einfach mal mit einbauen.
Da es sich kürzen wird, kann man auch gleich darauf verzichten.

Eine näherliegende Argumentation wäre: Die Formel mit dem Sinus enthält ja kein

r

. Sie muss also unabhängig von

r

sein. Dann kann ich aber auch gleich

r

so wählen, dass es mir am wenigsten Scherereien macht. Also wähle

r = 1

.

> Ich kann nachvollziehen, dass Im(A)=Im(B) ist. Aber wie komme ich von diesem Standpunkt aus zu der angegeben Formel?

Fülle doch

A

und

B

mit Gehalt an (folge dem Weg). Dann wirst du schon sehen. Vertrau mir!

Mfg Michael

biabro aktiv_icon

11:51 Uhr, 05.08.2022

Ich erhalte leider nicht die richtige Lösung.

Meine Lösung ist:

sin (3 φ) = 3 {cos}^{2} (2 φ) sin (φ) + 3 cos (φ) {sin}^{2} (2 φ) + {sin}^{3} (3 φ)

rundblick aktiv_icon

12:12 Uhr, 05.08.2022

.
" Ich erhalte leider nicht die richtige Lösung."

Tipp:
mach dir bitte doch mal die Mühe, die zwei Zeilen deiner zugehörigen Rechnung hier
zu notieren,
dann sagt Mann dir umgehend, was du falsch gemacht hast ..
ganz nebenbei: es ist

\to i^{2} = - 1

und

\to i^{3} = - i ...

. :-)
ok?
.

michaL aktiv_icon

13:24 Uhr, 05.08.2022

Hallo,

Und: Du darfst natürlich nur den Imaginärteil verwenden, nicht den Realteil!

Mfg Michael

biabro aktiv_icon

13:31 Uhr, 05.08.2022

Meine Rechnungen:

Formel von Moivre:

{(cos (φ) + i sin (φ))}^{3} = cos (3 φ) + i sin (3 φ)

Binomische Formel:

{(cos (φ) + i sin (φ))}^{3}

= (cos (φ) + i sin (φ)) \cdot (cos (φ) + i sin (φ)) \cdot (cos (φ) + i sin (φ))

= ({cos}^{2} (2 φ) + cos (φ) i sin (φ) + cos (φ) i sin (φ) + i {sin}^{2} (2 φ)) \cdot (cos (φ) + i sin (φ))

= {cos}^{3} (3 φ) + {cos}^{2} (2 φ) i sin (φ) + {cos}^{2} (2 φ) i sin (φ) + cos (φ) i {sin}^{2} (2 φ) +

{cos}^{2} (2 φ) i sin (φ) + cos (φ) i {sin}^{2} (2 φ) + cos (φ) i {sin}^{2} (2 φ) + i {sin}^{3} (3 φ)

= {cos}^{3} (3 φ) + 3 {cos}^{2} (2 φ) i sin (φ) + 3 cos (φ) i {sin}^{2} (2 φ) + i {sin}^{3} (3 φ)

Im (A)

=

(B)

sin (3 φ) = 3 {cos}^{2} (2 φ) sin (φ) + 3 cos (φ) {sin}^{2} (2 φ) + {sin}^{3} (3 φ)

HAL9000

13:51 Uhr, 05.08.2022

i \sin (φ) \cdot i \sin (φ) = i^{2} \sin^{2} (φ) = - \sin^{2} (φ)

, während du in der dritten Zeile stattdessen

i \sin^{2} (2 φ)

geschrieben hast (wieso überhaupt

2 φ

statt

φ

???). Ob das weitere dann nur Folgefehler sind, habe ich jetzt nicht kontrolliert.

Der vielen Schreibarbeit wegen kann man auch zunächst mit Platzhaltern rechnen - mit dem Binomischen Satz bekommt man so

(a + i b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} i b + 3 a (i b)^{2} + (i b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b i - 3 a b^{2} - b^{3} i = (a^{3} - 3 a b^{2}) + (3 a^{2} b - b^{3}) i

.

Und das für

a = \cos (φ)

sowie

b = \sin (φ)

biabro aktiv_icon

14:18 Uhr, 05.08.2022

Danke für die Hinweise.
Mein Fehler war, dass ich die Ausführung zur Multiplikation komplexer Zahlen versucht habe auf den binomischen Satz anzuwenden (deswegen auch

(2 φ))

. Mit dem Wissen, was

i^{2}

und

i^{3}

ergibt, und der detaillierten Beschreibung des binomischen Satzes, habe ich dann jetzt die richtige Lösung heraus.
Vielen Dank.

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