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Fourierreihe x^2

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Folgen und Reihen

Funktionen

Tags: Folgen, Funktion, Reihen

barracuda317 aktiv_icon

18:41 Uhr, 20.08.2012

Es sei

f : ℝ \to ℝ

eine

2 π

-periodische Funktion mit

f (x) = x^{2}

für

x \in (- π, π]

(a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f auf

[- 3 π, 3 π] .

(b) Stellen Sie die Fourierreihe von f auf:

(c) Welche Funktion stell dir Fourierreihe von f auf

[- π, π]

dar?

(d) Geben Sie damit je eine Reihendarstellung von

\frac{π^{2}}{12}

und

\frac{π^{2}}{6}

an.

Ich habe den Graph im unteren Bild mal skizziert.

Für die Fourierreihe dieser geraden Funktion erhalte ich aber etwas Wildes:

π a_{n} = \int_{- π}^{π} x^{2} c o s (n x) d x = [\frac{x^{2} s i n (n x)}{n}]_{- π}^{π} - \frac{1}{n} \int_{- π}^{π} 2 x s i n (n x) d x = - \frac{1}{n} [\frac{- 2 x c o s (n x)}{n}]_{- π}^{π} - \frac{1}{n} \int_{- π}^{π} 2 c o s (n x) d x = \frac{4 (- 1)^{n}}{n^{2}} - \frac{1}{n} [\frac{2 s i n (n x)}{n}]_{- π}^{π}

= \frac{4 (- 1)^{n}}{n^{2}}

Beim Schritt

- \frac{1}{n} [\frac{- 2 x c o s (n x)}{n}]_{- π}^{π} = \frac{4 (- 1)^{n}}{n^{2}}

bin ich mir etwas unsicher.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

16:47 Uhr, 21.08.2012

a_{0} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} x^{2} d x = \frac{1}{3} π^{2}

sollte gesondert berechnet werden.
Ansonsten ist für

n > 0

per

2 \times

partieller Integration

\int x^{2} cos (n x) d x

= x^{2} \cdot \frac{1}{n} sin (n x) - \int 2 x \frac{1}{n} sin (n x) d x

= x^{2} \cdot \frac{1}{n} sin (n x) - \frac{2}{n} (x \cdot (- \frac{1}{n}) cos (n x) - \int (- \frac{1}{n}) cos (n x) d x)

= \frac{1}{n} \cdot x^{2} sin (n x) + \frac{2}{n^{2}} x cos (n x) - \frac{1}{n^{3}} sin (n x) + C

Wegen der Integrationsgrenzen

- π, π

fallen die Siinus-Terme weg.
Dagegen ist

cos (\pm n π) = {(- 1)}^{n},

also

\int_{- π}^{π} x^{2} cos (n x) d x = 4 π \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}},

also

a_{n} = 4 \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}}

Wegen der Majoranten

\sum \frac{1}{n^{2}}

ist die Fourierfolge gleichmäßig konvergent, hat also die Ausgangsfunktion als Grenzfunktion.
Insbesondere ist

0 = f (0) = \frac{1}{3} π^{2} + \sum_{n \in ℕ} 4 \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}},

woraus

\frac{1}{12} π^{2} = \frac{1}{4} \cdot (f (0) - \frac{1}{3} π^{2}) = \sum_{n \in ℕ} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}}

folgt.
Ebenso ist

π^{2} = f (π) = \frac{1}{3} π^{2} + \sum_{n \in ℕ} 4 \cdot \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}} \cdot cos (n π) = \frac{1}{3} π^{2} + \sum_{n \in ℕ} \frac{4}{n^{2}},

also

\frac{π^{2}}{6} = \frac{1}{4} \cdot (π^{2} - \frac{1}{3} π^{2}) = \sum_{n \in ℕ} \frac{1}{n^{2}}

barracuda317 aktiv_icon

15:40 Uhr, 22.08.2012

Ahso,

a_{0}

gesondert und nur für

a_{n}

die Formel.

Auch ich erhalte:

\frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{3} π^{2}

Die

a_{n}

-Berechnung scheint dann wohl auch korrekt gewesen zu sein:

a_{n} = \frac{4 (- 1)^{n}}{n^{2}}

Damit ist die Fourierreihe:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{4 (- 1)^{n}}{n^{2}} c o s (n x)

Für die gleichmäßige Konvergenz, betrachten wir nur:

∣ \frac{(- 1)^{n}}{n^{2}} ∣ \leq \frac{1}{n^{2}}

Warum können wir da das

c o s (n x)

ignorieren?

Die Idee für die Reiendarstellung kann ich nachvollziehen.

hagman aktiv_icon

18:17 Uhr, 22.08.2012

. .

. weil

| cos (n x) | \leq 1

barracuda317 aktiv_icon

12:51 Uhr, 23.08.2012

Grml stimmt. Thx

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