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Frage zum Halblogarithmus, steigung und verlauf

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Sonstiges

Tags: Sonstiges

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13:15 Uhr, 07.02.2011

Also wir haben einen aufgabenzettel bekommen mit diversen Fragen zur Mathematik. Ich konnte bis jetzt auch alles lösen. Bei der letzten frage komme ich allerdings nicht weiter:

Gegeben seien die folgenden Funktionen:

f 1 (x) = 4,2 \cdot {0,3}^{- x}

f 2 (x) = 2 \cdot 8^{x}

f 3 (x) = 3,21 \cdot {0,4}^{x}

f 4 (x) = 6,4 \cdot {0,3}^{x}

a

. Halblogarithmisch dargestellt, ergeben diese Funktionen Geraden. Welche davon verlaufen parallel?

b

. Welche haben negative Steigung?

c

. Geben Sie die Nullstellen der Geraden an!

Hat evtl. jemand einen Ansatz wie ich das ganze lösen könnte? Hab leider nie was von einen Halblogarithmus gehört, geschweigen denn angewendet. Bei der negativen Steigung könnte ich nur eine vermutung aufstellen dass es

f 1

(wegen den negativen exponenten) ist bin mir jedoch relativ unsicher.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

hagman aktiv_icon

13:26 Uhr, 07.02.2011

Hei halblogarithmische Darstellung eines Funktionsgraphen zeichnet man eine der beiden Koordinatenachsen nicht gleichmäßig an, vgl.
http//de.wikipedia.org/wiki/Halblogarithmisch#Einfachlogarithmisches_Papier

Während also in x-Richtung beispielsweise nach wie vor eine Werteinheit 1cm entspricht, werden vertikal

y

Werteinheiten als

l g (y)

cm abgetragen

Die Kurve zu

f_{1} (x) = 4,2 \cdot {0,3}^{- x}

wird auf diesem Wege zu

y = l g (f_{1} (x)) = l g 4,2 - x \cdot l g 0,3

. Das erkennt man als Geradengleichung, die eigentlich "krumme" Kurve wird also auf Log-Papier zu einer Geraden.

Das dürfte dir für den Rest helfen

DmitriJakov aktiv_icon

13:27 Uhr, 07.02.2011

Die Halblogarithmische Darstellung heisst: Eine Achse ist linear, also so wie Du es bisher immer gewohnt warst. Die andere Achse,

z . B

. die y-Achse, ist logarithmisch, das heisst

z . B . :

doppelter Abstand zum Ursprung gleich 10-facher y-Wert (bei Darstellung im dekadische Logarithmus)
Vergleiche hierzu: de.wikipedia.org/wiki/Logarithmische_Darstellung
Und etwas humoristisch: xkcd.com/482

Deine Funktionen: Diejenige unktion mit negativem Exponent ist eine fallende Gerade im halblogarithmischen Diagramm.

Für die Nullstellen hat die Darstellung keine Auswirkung. Die Funktionen gehen auch dort durch Null, wo sie Null werden. :-D)

DmitriJakov aktiv_icon

13:41 Uhr, 07.02.2011

Zur Frage, welche Steigung die Kurven haben:

y = a \cdot b^{c \cdot x} \to {log}_{b} (y) = {log}_{b} (a) + c \cdot x

Ist

y

im Maß des

{log}_{b}

skaliert, so gibt also der Faktor

c

die Steigung an und

{log}_{b} (a)

den Schnittpunkt mit der y-Achse.

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13:54 Uhr, 07.02.2011

Uff, das ging ja schnell mit den Antworten, hab mich schon auf wochenlange Wartezeiten eingestellt.

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten. Jetzt weiß ich was dieses Halblogarithmus auf sich hat.

a

. kann ich annehmen dass keine der Funktionen parralel verläuft?

b

. Eigentlich kommt durch den negativen exponenten nur

f 1

in Frage.

c

. Leider hatte ich das letzte mal nullstellen berechnet als WTC noch stand. Könnte mir jemand anhand einer funktion das vorrechnen, damit ich die restlichen in angriff nehmen kann?

DmitriJakov aktiv_icon

14:32 Uhr, 07.02.2011

Nullstellen liegen vor, wo

f (x) = 0

wird.

Z . B f (x) = x^{2}

wird Null bei

x = 0

oder auch:

f (x) = 3 x + 5

wird Null bei

3 x + 5 = 0 < \to 3 x = - 5 < \to x = - \frac{5}{3}

Die Exponentialfunktion

a^{x} (a \neq 0)

jedoch wird nie Null. Die Frage nach den Nullstellen ist also so zu beantworten, dass keine Nullstellen vorliegen.

Die (Halb)Logarithmische Darstellung suggeriert zwar einen Ursprung in

0; 0

wie man es aus dem normalen Koordinatensystem kennt. Sie hat aber keinen Ursprung in Null, sondern normalerweise in Eins.

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14:46 Uhr, 07.02.2011

also um es noch einmal zu paraphrasieren:

Bei keiner der vorliegenden Funktion gibt es eine Nullstelle da die Funktionen einen Expotenziellen verlauf haben?

hagman aktiv_icon

15:18 Uhr, 08.02.2011

Die Funktionen

f (x)

selbst haben keine Nullstelle.
Die im halblog.-Papier eingezeichneten Greaden schneiden allerdings durchaus die waagerechte Achse, die ja

log y = 0,

also

y = 1

entspricht

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15:37 Uhr, 09.02.2011

vielen Dank, ich werde die Information so übernehmen.

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