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Funktion aus Messdaten ermitteln

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: aufstellen, Exponential, Funktion, Messdaten

Raabinius aktiv_icon

15:34 Uhr, 27.03.2013

Hallo zusammen,

wenn einer Flüssigkeit

(z . B

. Wasser) eine Farbe hinzugeführt wird, ändert sich entsprechend die Helligkeit, undzwar nicht linear. Ich möchte jetzt eine Gleichung aufstellen, mit der der erforderliche Dosierungsanteil der Farbe ausgegeben wird, wenn die Helligkeit

h

bekannt ist. Die Dosierungsmenge

d

soll also variable sein.

Ich möchte also herausfinden, welche Dosierung ich benötige, um auf die Helligkeit

48

zu kommen.

Im Anhang befindet sich die Datentabelle mit einigen Messwerten.

Ich habe bereits versucht, das ganze über eine Fehlerquadratberechnung zu solvern. Leider sind hier die Abweichungen zu groß.

Hat einer von Euch eine Idee?

Vielen Dank vorab

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pleindespoir aktiv_icon

21:10 Uhr, 27.03.2013

Eine Gerade wird das sicher nicht - sieht eher nach log aus. Hast Du damit mal angesetzt ?

rbr90 aktiv_icon

21:50 Uhr, 27.03.2013

Ich würd auch einen logarithmischen Ansatz versuchen.

Z . B

. im Excel, Regression

\to

Ausgleichsgerade legen.

michaL aktiv_icon

21:59 Uhr, 27.03.2013

Hallo,

schonmal vom Beer-Lambertschen Gesetz

^{[1]}

gehört? Scheint genau auf das hier zu passen, wobei man die Einheit "%" irgendwie geeignet interpretieren muss!

Mfg Michael

Weblinks:
[1] de.wikipedia.org/wiki/Lambert-beersches_Gesetz

Raabinius aktiv_icon

09:04 Uhr, 28.03.2013

vielen Dank für Eure Beteiligung ;-)

Ja, ich habe ursprünglich Lambert zum Fitten genutzt. Dieser Ansatz ist zwar wissenschaftlich bzw. physikalisch begründet, kommt aber auch nur näherungsweise an meine Werte ran.

Im Anhang ein Diagramm mit der aus Excel errechneten Ausgleichskurve. Hier kann man gut erkennen, dass die Kurven nicht übereinander liegen.

Gibt es hier eine Möglichkeit, das noch anzugleichen? Oder bleibt mir nur der Weg über Ablesen ;-) ?

anonymous

12:42 Uhr, 28.03.2013

Vorschlag:

Raabinius aktiv_icon

13:30 Uhr, 28.03.2013

Das sieht schon wesentlich besser aus. Mit welchem Programm hast Du die Gleichung aufgestellt?
Vielleicht wird es noch besser, wenn die

10 %

Dosierung weggelassen wird. Ich werde das am Dienstag testen. Vielen Dank schon mal und schöne Ostern ;-)

anonymous

17:15 Uhr, 28.03.2013

Hallo
ich mache das mit Excel.
Ansatz (wie ersichtlich):

h = A \cdot d^{0.75} + B \cdot d^{0.50} + C \cdot d^{0.25} + D

Du kannst natürlich auch mal probieren:

h = A \cdot d^{0.6} + B \cdot d^{0.4} + C \cdot d^{0.2} + D

o

.ä.

Raabinius aktiv_icon

21:24 Uhr, 28.03.2013

Hi,
hast Du die Faktoren

A, B, C

und

D

gefittet?

anonymous

08:53 Uhr, 29.03.2013

Was meinst du mit: "hast Du die Faktoren

A, B, C

und

D

gefittet?"

Ich kann nur ahnen, dass ich dir näher erklären soll, wie ich vorgegangen bin.
Ich habe wie gesagt den Ansatz gewählt:

h = A \cdot d^{0.75} + B \cdot d^{0.5} + C \cdot d^{0.25} + D

weil ich ahnte, dass das zielführend nah an die Funktion approximierbar ist.
Dann habe ich mit der Methode der Minimalen Fehlerquadrate die Koeffizienten

A - D

ermittelt.
Ergebnis:

A = 47.49

B = - 129 . .

. (siehe Excel-Diagramm)

Tip:
Man kann sich das Leben natürlich leichter machen, mit Substitution:

x = d^{0.25}

\to

h =

A*x³

+

B*x²

+ C \cdot x + D

Raabinius aktiv_icon

09:43 Uhr, 29.03.2013

Super, ich danke Dir

Raabinius aktiv_icon

15:03 Uhr, 03.04.2013

Hallo nochmal,

ich habe mit der Gleichung noch etwas experimentiert.

Die Funktion

h =

A⋅d^0.75+B⋅d^0.5+C⋅d^0.25+D passt scon ganz gut.

Das Problem ist jetzt nur die Umstellung, wenn

h

bekannt ist und

d

die gesuchte Größe. Gibt es da Umstellungsregeln, wie

z . B

. Cardanische Formeln, die angewandt werden müssen?

anonymous

22:21 Uhr, 03.04.2013

Bei

h = A \cdot d^{0.75} + B \cdot d^{0.5} + C \cdot d^{0.25} + D

kann man

x = d^{0.25}

setzen und anschließend die kubische Gleichung

A \cdot x^{3} + B \cdot x^{2} + C \cdot x + D - h = 0

reduzieren und die Cardanischen Formeln anwenden.
Dann erhält man aus den Lösungen für

x

über

d = x^{4}

die passnede Lösung für

d

.

Da aber die Funktion schon an die Messdaten angenähert wurde, würde ich eher ein Näherungsverfahren verwenden.
(Newton-Verfahren, Bisektion,

...)

Das geht evtl. einfacher.
Man wird hier wohl nicht alles exakt auflösen müssen, wenn schon die Messwerte gar nicht exakt der Funktion entsprechen.

Ok, wenn du dann wirklich eine Gleichung für

d

in Abhängigkeit von

h

benötigst, wird das mit Näherungsverfahren wohl nichts.
Aber auch das Auflösen mit den Cardanischen Formeln wird nicht unbedingt eine einfache Gleichung liefern.

Alternativ hätte ich noch einen Vorschlag.

Man kann auch einen logitischen Ansatz wählen. Das scheint hier gut zu passen.
Ich habe das mal GeoGebra machen lassen. Das Ergebnis habe ich als Bild angehängt.

Der Vorteil dieses logitischen Ansatzes wäre, meiner Meinung nach, auch der, dass man recht einfach eine Umkehrfunktion erhält.

h = \frac{A}{1 - B \cdot e^{- C \cdot d}} \Leftrightarrow d = \frac{1}{C} \cdot ln (\frac{B \cdot h}{h - A})

anonymous

01:59 Uhr, 04.04.2013

oder wenn du explizit

d (h)

haben willst, dann hindert uns ja nichts, den Ansatz umzudrehen,

z . B

d^{0.2} = A \cdot h^{3} + B \cdot h^{2} + C \cdot h + D

Ergebnis:

Raabinius aktiv_icon

11:00 Uhr, 04.04.2013

Hi, wow, super. Die Funktion aus GeoGebra ist perfekt. Diese kann ich nämlich beliebig umstellen. Dass das

R^{2}

nicht die 1 erreicht, kann gut auf die Messungenauigkeiten zurückgeführt werden.

Vielen Dank!

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