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Funktion aus Wertetabelle

Schüler

Tags: begrenztes Wachstum, e-Funktion, Facharbeit, Funktion, Funktionalanalysis, Wertetabell, Wertetabelle erstellen

Zwilling aktiv_icon

20:37 Uhr, 13.08.2012

Hei. :-)
Ich schreibe gerade an meiner Seminararbeit und komme nicht weiter. Ich beschäftige mich mit dem Wachstum von Sonnenblumen und habe deswegen auch ein eigenes Projekt dazu gemacht. Ich habe Sonnenblumen angepflanzt und eine Wertetabelle dazu angelegt.
Jetzt will ich aus der Wertetabelle eine Funktion erarbeiten, die begrenztes Wachstum aufweist. Ich habe schon es schon mit der Trendlinie in Openoffice versucht aber die Funktion ist zu ungenau. Ich habe auch ein Diagramm dazu, aber das hat sich ein bisschen umformatiert. Wertetabelle ist sehr lang, deswegen kann ich diese sehr schlecht mit hochladen. Ich brauche eigentlich nur eine Vorgehensweise für mein Problem.
Kann mir jemand helfen? Wäre sehr dankbar ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
e-Funktion

anonymous

23:15 Uhr, 13.08.2012

Das Problem bei Open Office oder Excel ist, dass keine Regressionen des begrenzten Wachstums gemacht werden können. Hier gibt es immer nur den exponentiellen Ansatz, der schnell große Abweichungen aufweist.
Am einfachsten wäre es, wenn du eine entsprechende Regression mit einem Computer-Algebra-System erstellst. Hier gibst du einfach nur die Werte ein und lässt dir die Funktion plotten. Später kannst du innerhalb einer Tabellenkalkulation auch die Abweichungen angeben.

Allerdings wirst du wahrscheinlich kein CA-System haben. Da es sich um eine längerfristige Seminararbeit handelt, ist darüber nachzudenken, sich soetwas auszuleihen

(z . B

. Casio Classpad). Ich sehe aber ein, dass sich dies etwas schwierig gestaltet.

Mir fällt aber kein Online-Tool ein, mit dem man nicht-lineare Regressionen erstellen kann. Du kannst natürlich aber auch diverse Punkte vornehmen und ganz viele Funktionen erstellen, die mehr oder weniger Abweichung aufweisen. Ich weiß nicht, wie umfangreich und aufwändig die Arbeit sein soll, aber oftmals lohnt sich eine schrittweise Näherung,

z . B

. auch über in diesem Fall eher unsinnige Regressionstypen

(z . B

. linear, mit Excel), die dann interpretiert werden können.

anonymous

00:13 Uhr, 14.08.2012

Eine Funktionsgleichung zu einem Graphen zu finden ist eigentlich immer eine schwierige Sache.

Zuerst braucht man eine Idee, wie die Funktionsgleichung in etwa aussehen kann, sonst kommt man da normalerweise nicht weit. Für ein entsprechendes beschränktes Wachstum hätte ich da ein paar Vorschläge.

1. Am ehesten passt da meiner Meinung nach eine logistische Funktion.
Diese stellt ein Modell zur Beschreibung eines Wachstums mit einer beim Wachstum verbraucht werdendenden begrenzten Ressource dar. Solch logistische Funktionen werden zum Beispiel auch gerne zur Modellierung von Bakterienwachstum oder Ähnlichem benutzt.
Allgemein lautet diese:

f (t) = \frac{G}{1 + e^{- k \cdot G \cdot t} \cdot (\frac{G}{f_{0}} - 1)}

http//de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
de.wikipedia.org/wiki/Populationsdynamik#Ein-Spezies-Modelle

2. Weiterhin könnte man vielleicht auch etwas mit Arkustangens oder Tangens Hyperbolicus etwas anfangen. Die haben auch so eine ähnliche Form. Entsprechende Gleichungen sind:

f (t) = a \cdot a r c t a n (b \cdot t + c) + d

http//de.wikipedia.org/wiki/Arkustangens

f (t) = a \cdot tanh (b \cdot t + c) + d

http//de.wikipedia.org/wiki/Tanh

3. Ich habe bei Google gesucht und Aufgaben gefunden bei denen der Graph in einem bestimmten Bereich mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades angenähert werden soll:

f (t) = a \cdot t^{3} + b \cdot t^{2} + c \cdot t + d

http//www.nb-braun.de/mathematik/Steckbrief2/bausteine/bst2-2-blume.htm
http//www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/upload/zentrale_klausuren/2010_05_24_M2010-ZK-2-WTR-AL.pdf

Wenn du dir dann Gedanken gemacht hast, welcher Funktionstyp am besten passen könnte. Muss die Funktion noch an deinen Graphen angepasst werden. Das heißt also, dass die Parameter

(G, k

und

f_{0}

oder

a, b, c

und

d)

bestimmt werden müssen, so dass die Abweichung zu den Messwerten möglichst gering ausfällt.

Dazu kann man dann beispielsweise die Methode der kleinsten Quadrate verwenden.
Dabei werden die Parameter so bestimmt, das insgesamt die Differenzen zwischen Funktionswert und eigentlichem Messwert quadriert werden und dann deren Summe gebildet wird. Diese Summe soll dann möglichst klein sein.

http//de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate

Das kann man dann von Computerprogrammen erledigen lassen. Dazu fällt mir beispielsweise der Solver in Microsoft Excel ein.

Im Anhang befindet sich auch ein Bild, bei welchem ich versucht habe, den dunkelroten Graphen mit dem Graphen eine logistischen Funktion anzunähern.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass jetzt noch nicht alle Fragen geklärt sind.
Schreib einfach wo genau du evtl. Probleme bzw. Fragen hast.

Für heute gehe ich jetzt jedenfalls erst einmal zu Bett. Gute Nacht.

Edit:
Ich habe gerade gemerkt, dass Apollonios schon geantwortet hat. Aber jetzt habe ich den Beitrag schon geschrieben. xD
Mein Tipp wäre, wie schon geschrieben mit dem Solver in Excel zu arbeiten.
Siehe dazu auch: Bild im Anhang.

Zwilling aktiv_icon

17:15 Uhr, 14.08.2012

Danke schon mal für die vielen Angebote ;-)
Ich wollte mal Geogebra ausprobieren. Wie hast du denn das gemacht mit Geogebra? :-)
- Wäre nett, wenn ich einige Tipps bekommen könnte? :-)
LG

anonymous

18:06 Uhr, 14.08.2012

Ja, GeoGebra hat ich gar nicht erwähnt. Tolles Programm.
Mit diesem geht es folgendermaßen:

1. Zuerst musst du deine Tabelle in GeoGebra übertragen.

Unter "Anicht" und "Tabelle" kann eine Tabelle angezeigt werden, in die du dann die Meßwerte eintragen kannst.

Anschließend die Werte markieren und mit Rechtsklick, "Erzeuge" und "Liste von Punkten" eine Liste deiner Meßpunkte erzeugen.

siehe: erstes Bild im Anhang
(Ich habe da einfach mal irgendwelche Werte erfunden.)

2. Durch folgende Eingaben, die benötigten Parameter bekannt machen:

"G=2", "k=1" und "a=1" einfach unter "Eingabe:" eingeben.
Die Startwerte, die man den Parametern zuweist sind eigentlich ziemlich egal.
Alternativ kann man auch Schieberegler erstellen.

3. Die Funktion in in abhängigkeit der Parameter eingeben.

Für den Fall, dass man die Messwerte also mit einer logistischen Funktion annähren will, sollte die Funktionsgleichung so aussehen.

f (t) = \frac{G}{1 + e^{- k \cdot G \cdot t} \cdot (\frac{G}{a} - 1)}

Daher sollte unter "Eingabe:" folgendes eingegeben werden:
"f(t)=G/(1+exp(-k*G*t)*(G/a-1))"

Jetzt sind die Vorbereitungen abgeschlossen.

4. In GeoGebra gibt es den Befehl "Trend" mit der folgenden Syntax:

Trend

[

<Liste von Punkten>, <Funktion>]

siehe auch:
http//wiki.geogebra.org/de/Trend_%28Befehl%29

Dieser erzeugt durch geeignete Wahl der Parameter der <Funktion> eine Funktion, welche am wenigsten von den Meßwerten abweicht.

Im Normalfall müsste dann also "h=Trend

[

Liste1, f]" eine passende Funktion

h

erzeugen, deren Funktionsgleichung dann beispielsweise im Algebra-Fenster abgelesen werden kann.

Alternativ könnte man in diesem Fall mit dem Befehl "TrendLogistisch" arbeiten.
Dann spart man sich die Schritte 2 und 3.

siehe auch:
http//wiki.geogebra.org/de/TrendLogistisch_%28Befehl%29

Die letzten zwei Bilder im Anhang zeigen die Ergebnisse.
(Einmal bei Benutzung von "Trend" und einmal bei Benutzung von "TrendLogitisch". Bei "TrendLogistisch" musste ich allerdings den Punkt

(0 | 0)

herausnehmen, sonst wäre da komischerweise die Funktion

h (t) = 0

entstanden.)

Zwilling aktiv_icon

11:23 Uhr, 16.08.2012

Bei mir springt die Liste 1 immer unter die Überschrift Freie Objekte. Ist das schlimm? Müsste sie unter abhängige Objekte stehen? :-) LG

anonymous

12:35 Uhr, 16.08.2012

Das macht normalerweise nichts aus. Wichtig ist nur, dass die Liste die Punkte entsprechend deiner Messwerte enthält.

Wenn du die Liste beispielsweise über die Eingabezeile eingegeben hast, kann sie durchaus auch unter den freien Objekten zu finden sein.
Wenn sie mit Hilfe einer Tabelle erzeugzt wurde, ist sie aber normalerweise unter den abhängigen Objekten zu finden, da sie von den Tabbelleneinträgen abhängt.
Man kann dann genauso mit der Liste arbeiten.
Der Unterschied liegt nur darin, dass eine abhängige Liste sich automatisch entsprechend verändert oder gelöscht wird, wenn die zugehörigen Tabbelleneinträge verändert oder gelöscht werden.

Zwilling aktiv_icon

10:44 Uhr, 17.08.2012

Dankeschön für die Tipps. :-)
Du hast doch ganz oben ein Bild hochgeladen, dass du mit Geogebra gemacht hast.
Da wollte ich mal fragen, ob du a, G und k aus der Zeichnung ablesen konntest oder ob du diese willkürlich bestimmt hast? Und wie die ganze Vorgehensweise bei dieser Art der Bestimmung ist? :-)
Dankeschön für die ganze Mühe ;-)

anonymous

14:43 Uhr, 17.08.2012

Also theoretisch kann man die dann in GeoGebra ablesen.
Z. B. in der Algebra-Ansicht auf der linken Seite.
Bei meinem ersten Bild ganz oben, habe ich

a, G

und

k

nicht mit GeoGebra bestimmt, da ich gar nicht daran gedacht hatte, dass GeoGebra das ja auch kann.

Daher habe ich das Bild von dir in GeoGebra in ein Koordinatensystem gelegt und anschließend einige Punkte abgelesen die auf einer der Graphen gelegen haben, um einfach mal irgendwelche "Messwerte" zu haben.
Mit diese Punktkoordinaten (die aufgrund der anderen Skalierung des Koordinatens allerdings nicht mit deinen Werten übereinstimmen) habe ich dann in Excel übertragen (Spalten A und

B)

. (siehe auch: zweites Bild) Anschließend habe ich drei Zellen für

a, G

und

k

angelegt (Zeile

15)

und mit Hilfe dieser Anfangswerte entprechende Funktionwerte einer logistischen Funktion in Abhängigkeit dieser Parameter an der jeweiligen Stelle berechnen lassen (Spalte

C)

. Des Weiteren habe ich die Differenz der Messwerte (Spalte

B)

und der Funktionswerte (Spalte

C)

gebildet und quadriert in die Spalte

D

eingetragen. Die Summe dieser Fehler-Quadrate habe ich in die Zelle

F 15

eintragen lassen.
Somit hatte ich in Zeile

F 15

einen Wert, der ein Maß für die Abweichung zwischen Funktion und Messpunkten darstellte, und sich durch unterschiedliche Werte von

a, G

und

k

in den Zellen B15:-D)15 verändern lies. Diese Abweichung sollte nun minimal werden. Und da gibt es in Excel ein passendes Add-In namens "Solver". Mit diesem kann man eine Zielzelle, Variablenzellen und Nebenbedingungen festlegen, so dass der Wert in der Zielzelle durch Änderungen in den Variablenzellen und unter Einhaltung der Nebenbedingungen optimiert wird.
Also habe ich den Solver so eingestellt, dass die Abweichung (Zelle

F 15)

minimal werden soll, indem die Werte der Parameter

a, G

und

k

(B15:-D)15) verändert werden. (Nebenbedingungen gibt es in diesem Fall keine.) Dann musste ich nur auf "Lösen" Drücken und schon standen die veränderten passenden Werte in den Zellen und ich wurde gefragt, ob ich die Änderung behalten bzw. rückgängig machen will. Mit Hilfe der gefundenen Parameterwerte habe ich dann den Funktionsgraphen in Geogebra einzeichnen lassen.

War ein bisschen lang, aber hoffentlich nachvollziehbar.

Auf den Solver in Excel bin ich übrigens letztes Jahr während meine Seminarbeit zum Thema Lineare Optimierung gestoßen. Und ich fand den recht nützlich. Allerdings weiß ich nicht, ob du Excel überhaupt hast. Aber mit Geogebra geht das ja auch recht gut.

Denn, wie ich schon geschrieben habe, kann man das in Geogebra links in der Algebra-Ansicht ablesen. Da ich das leider nicht gespeichert habe, habe ich schnell noch ein weiteres Beispiel als Bild angehängt.
Zunächst kann man nach Bedarf in der Menüleiste unter "Ansicht" und "Runden" die Anzahl der Dezimalstellen erhöhen, wenn man genauere Werte ablesen will.
Dann kann man in der Funktionsgleichung links die Werte ablesen.
In diesem Beispiel:

G \approx 3,375; k \approx 0,795; a \approx 0,165

Wenn man will kann man auch per Rechtsklick auf die Funktionsgleichung und dann auf "in Eingabezeile kopieren" sich auch den Funktionsterm in die Eingabezeile kopieren lassen.

siehe auch: Bild im Anhang

Edit: GeoBebra nutzt beim Befehl Trend übrigens auch die Methode der kleinsten Quadrate, da diese ein Standardverfahren bei solchen Ausgleichsrechnungen ist. Wenn man daher die Optimierung mit gleichen Messwerten jeweils in GeoGebra und mit dem Solver in Excel macht, sollte (bis auf evtl. geringe Abweichung) das gleiche herauskommen.

Zwilling aktiv_icon

17:57 Uhr, 17.08.2012

Danke für deine Hilfe :-) Hat mir sehr geholfen.
Lg

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