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Funktion beschränkt

Schüler

Tags: Beschränktheit

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13:45 Uhr, 25.10.2014

Hallo, ich habe die Aufgabe:

DIe Funktion

f

sei auf

[- 1, 1]

definiert durch:

f (x) = x^{4} \exp (- \frac{x^{2}}{4}) \sin (\frac{8}{x^{3}})

falls

x \neq 0

und

f (0) = 0

.

Zeigen Sie, dass

∣ f ʹ (x) ∣

auf

[- 1, 1]

beschränkt ist, aber

s u p_{x \in [- 1, 1]} f ʹ (x)

und

i n f_{x \in [- 1, 1]} f ʹ (x)

nicht angenommen werden.

Meine Ideen:
Also bei der Ableitung habe ich mir einen ziemlich abgewuselt. Ich habe es schlussendlich logarithmisch differenziert. Bin mir aber auch nicht ganz sicher ob die Ableitung so korrekt ist.

f (x) = x^{4} \exp (- \frac{x^{2}}{4}) \sin (\frac{8}{x^{3}})

\ln (f (x)) = \ln (x^{4} \exp (- \frac{x^{2}}{4}) \sin (\frac{8}{x^{3}}))

\frac{f ʹ (x)}{f (x)} = [\frac{4}{x} - \frac{1}{2} x - \frac{\cos (8 x^{- 3})}{\sin (8 x^{- 3})} \cdot 24 x^{- 2}]

f ʹ (x) = f (x) [\frac{4}{x} - \frac{1}{2} x - \cot (8 x^{- 3}) \cdot 24 x^{- 2}]

Also erhalte ich die Ableitung:

f ʹ (x) = x^{4} \exp (- \frac{x^{2}}{4}) \sin (\frac{8}{x^{3}}) [\frac{4}{x} - \frac{1}{2} x - \cot (8 x^{- 3}) \cdot 24 x^{- 2}]

Da das Supremum und Infimum quasi eine Verallgemeinerung des globalen Extremum ist wobei +unendlich und -unendlich zugelassen werden, dachte ich mir ich betrachte die Intervallgrenzen. In dem Fall

- 1

und

+ 1

und schauen was ich im Grenzfall erhalte. Kommt etwas endliches heraus, weiß ich das

∣ f ʹ (x) ∣

beschränkt ist da

s u p

und

i n f

nicht angenommen werden. Das ist der Plan.
Die Frage ist, macht der Plan sinn?

Besten Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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14:24 Uhr, 25.10.2014

"Da das Supremum und Infimum quasi eine Verallgemeinerung des globalen Extremum ist wobei +unendlich und -unendlich zugelassen werden"

Das halte ich für eine gewagte Aussage. :-)

Es geht nicht so sehr um die Unendlichkeiten, sondern darum, dass Supremum im Gegensatz zu Maximum nicht unbedingt erreicht wird.
Z.B. hat die einfache Funktion

f (x) = x

auf

(0, 1)

(offen!!!) kein Maximum, aber Supremum=1.

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14:27 Uhr, 25.10.2014

Deine Ableitung stimmt nicht gant, denn

(\frac{1}{x^{3}})^{ʹ} = (\frac{- 3}{x^{4}})

.

Zweitens: Du musst nicht nur die Grenzen betrachten, sondern auch den Punkt

x = 0

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14:34 Uhr, 25.10.2014

Oh man, soll ich jetzt etwa nochmal neu ableiten oder wo muss ich jetzt noch die -3 drauf multiplizieren?

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14:49 Uhr, 25.10.2014

- 3

hast Du schon, aber die Potenz stimmt nicht.

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14:54 Uhr, 25.10.2014

Achso, dann müsste ich ja nur im Kotangens den Exponenten des Nenners ändern?!

f ʹ (x) = x^{4} \exp (- \frac{x^{2}}{4}) \sin (\frac{8}{x^{3}}) [\frac{4}{x} - \frac{1}{2} x - \cot (8 x^{- 4}) \cdot 24 x^{- 2}]

Und nun die Grenzwertbetrachnungen

lim_{x \to - 1} f ʹ (x)

lim_{x \to 0} f ʹ (x)

lim_{x \to 1} f ʹ (x)

Diese drei Betrachtungen also durchziehen?

Gruß :-)

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15:00 Uhr, 25.10.2014

"Achso, dann müsste ich ja nur im Kotangens den Exponenten des Nenners ändern?!"

Nein, nicht dort. Statt

24 x^{- 2}

soll

24 x^{- 4}

stehen.

"Diese drei Betrachtungen also durchziehen?"

Inwiefern sind Punkte

- 1

und

1

kritisch? Dass sie Intervallgrenzen sind, spielt keine Rolle, denn das Intervall ist geschlossen.

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15:08 Uhr, 25.10.2014

Jetzt nochmal,

f ʹ (x) = x^{4} \exp (- \frac{x^{2}}{4}) \sin (\frac{8}{x^{3}}) [\frac{4}{x} - \frac{1}{2} x - \cot (8 x^{- 3}) \cdot 24 x^{- 4}]

Man kann aber doch auch sagen da f als Komposition stetiger Funktionen stetig und

[- 1, 1]

ein kompaktes Intervall ist nimmt

f

sein globales Maximum und globales Minimum an. Das weiß ich doch schonmal. (Satz von Maximum und Minimum)
Muss jetzt nur der Fall

x_{0} = 0

untersucht werden? Warum denn nur der Fall?

Besten Dank! :-)

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15:17 Uhr, 25.10.2014

"Muss jetzt nur der Fall x0=0 untersucht werden? Warum denn nur der Fall?"

Weil Du oben absolut richtig geschrieben hast, dass eine stetige Funktion auf einem geschlossenen Intervall ein Maximum und ein Minimum hat und deshalb auch ihr Supremum (gleich Maximum) und Infinum (gleich Minimum) erreicht. Also sind eigentlich nur Punkte interessant, wo Funktion womöglich doch nicht stetig ist. Und in Deinem Fall ist es nur der Punkt

0

. Aber in diesem Punkt weißt Du zuerst nicht, ob Deine Funktion stetig ist, denn durch

0

kann man nicht teilen, deshalb ist Deine Funktion im Punkt

0

nicht durch allgemeine Formel definiert, also kannst Du Dich auch nicht auf die Argumenation wie "Komposition von stetigen Funktionen" verlassen. Diesen Punkt musst Du also Extra behandeln.

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15:21 Uhr, 25.10.2014

Und Du kannst übrigens schon von der Formulierung der Aufgabe darauf schließen, dass

f^{ʹ}

auf

[- 1, 1]

doch nicht stetig ist, eben weil Supremum und Infinum nicht erreicht werden. Und der einzige Punkt, wo die Stetigkeit in Brüche gehen kann, ist

x = 0

gonnabeph aktiv_icon

15:34 Uhr, 25.10.2014

Achso, klingt logisch! :-)
Also kann man auch sagen das ein globales Extrema immer im Intervall liegt und Supremum oder Infimum nicht zum Intervall gehört?

Nun betrachte ich die Stelle

x_{0}

da es die einzige Unstetigkeitsstelle ist.
Linksseitiger Grenzwert

lim_{x \to 0, x < 0} f ʹ (x)

Da taucht ja nun ein Problem beim s

i n (\frac{8}{x^{3}}

und bei

\cot (\frac{8}{x^{3}})

auf. Wenn ich mir den linksseitigen Grenzwert anschaue geht dieser gegen

- \infty

(Beim rechtsseitigen

+ \infty

). Das macht aber doch keinen Sinn ... Also ist die Funktion im Punkt

x = 0

unstetig. Das müsste dann eine Polstelle sein?

Das heißt nur für mein Ergebnis da

f ʹ

[- 1, 1]

nicht stetig ist, besitzt

f ʹ

kein globales Maximum und Minimum und damit auch kein Supremum und Infimum?

Irgdnwie ziemlich konfus ...

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19:29 Uhr, 25.10.2014

"Wenn ich mir den linksseitigen Grenzwert anschaue geht dieser gegen

- \infty

(Beim rechtsseitigen

+ \infty

)."

Nein, tut er nicht. Du kannst nicht einen Teil des Ausdrucks rausnehmen und dann sagen: da habe ich Unendlichkeit, also habe ich insgesamt Unendlichkeit.
Außerdem stimmt auch nicht, dass

\sin (8 / x^{3}) \to \infty

, denn

∣ \sin () ∣

kann nicht größer als

1

sein.

gonnabeph aktiv_icon

20:58 Uhr, 25.10.2014

Ja, da war ich wohl etwas zu voreillig.
Die beiden Ausdrücke die Probleme machen sind

\sin (8 / x^{3})

und

\cot (8 / x^{3})

für

x \to \infty

geht

8 / x^{3} \to 0

und demnach

\sin (8 / x^{3}) \to 0

und beim Kotangens gibts nun ein Problem da der Nenner gegen Null geht und damit nicht definiert ist ...
Stimmt's jetzt?

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21:26 Uhr, 25.10.2014

Das stimmt zwar alles, aber der Fall

x \to \infty

interessiert Dich gar nicht.
Bei Dir ist es

x \to 0

gonnabeph aktiv_icon

21:37 Uhr, 25.10.2014

Ich weiß auch nicht weiter.

8 / x^{3}

geht doch für

x \to 0

und

x < 0

gegen

- \infty

. Der Sinus ist ja beschränkt zwischen

- 1

und

+ 1

. Ich werde morgen weiter machen, ich merke das ich nicht besonders aufmerksam bin und die Aufgabe nervt mich ziemlich.

Ich melde mich dann morgen wieder.
Besten Gruß! :-)

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22:55 Uhr, 25.10.2014

Du hast:

f^{ʹ} (x) = x^{4} \exp (- x^{2} / 4) \sin (8 / x^{3}) [4 / x - x / 2 - \cot (8 x^{- 3}) \cdot 24 x^{- 4}] =

= 4 x^{3} \exp (- x^{2} / 4) \sin (8 / x^{3}) - 0.5 x^{5} \exp (- x^{2} / 4) \sin (8 / x^{3}) - 24 \exp (- x^{2} / 4) \cos (8 / x^{3})

.

Von diesen drei Summanden macht nur der dritte Schwierigkeiten, denn die ersten beide sind stetig in

0

. Der dritte ist aber in

0

nicht stetig, der verhält sich oszillierend, wenn man sich auf

0

zu bewegt, er schwankt zwischen fast

24

und fast -

24

, beide Werte werden aber nie ereicht.
Gib in Google "graph 24*exp(−x^2/4)*cos(8/x^3)" ein und Du wirst sehen, was ich meine.

gonnabeph aktiv_icon

10:53 Uhr, 26.10.2014

Wieso denn nur der dritte? In den ersten beiden Summanden steht doch

\sin (8 / x^{3})

und das macht doch auch Probleme für

x \to 0

?
Wie soll ich denn hier weiter untersuchen? Die Null einfach einsetzen geht ja nicht und wenn ich mich von links oder rechts nähere erhalte ich

+ \infty

oder

- \infty

für

8 / x^{3}

und wie verhält sich dann der Sinus und Kosinus wenn quasi

\sin (\pm \infty)

dort steht? Das macht doch keinen Sinn.

Respon

11:08 Uhr, 26.10.2014

In den beiden ersten Termen oszilliert der sin zwische

+ 1

und

- 1,

durch den Faktor

x (x \to 0)

ergibt das den Grenzwert 0.

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12:02 Uhr, 26.10.2014

Wie Respon schon sagte, in den ersten zwei Termen dominiert

x

oder genauer gesagt, Potenzen von

x

.
Konkret:

∣ 4 x^{3} \exp (- x^{2} / 4) \sin (8 / x^{3}) ∣ \leq 4 ∣ x ∣^{3} \to 0

x \to 0

und

∣ 0.5 x^{5} \exp (- x^{2} / 4) \sin (8 / x^{3}) ∣ \leq 0.5 ∣ x^{5} ∣ \to 0

x \to 0

.
Also sind beide Terme stetig in

0

.

Was Du weiter machen kannst. Da der dritte Term zwischen

24

und

- 24

schwankt, liegt der Verdacht nahe, dass auch insgesamt Supremum=

24

und Infinum =

- 24

. Das kann man versuchen zu beweisen. Und zwar in zwei Schritten: 1) zeigen, dass die Gesamtfunktion immer zwischen diesen Werten liegt, 2) zeigen, dass die Funktion Werte annimmt, die beliebig nah an

24

und

- 24

liegen.
Aus meiner Sicht ist gerade der Teil 1) technisch sehr anspruchsvoll, da sehe ich momentan keine Möglichkeit, ihn einigermaßen einfach zu erledigen. Es reicht zwar zu zeigen, dass

24 \exp (- x^{2} / 4) - 4 x^{3} \exp (- x^{2} / 4) - 0.5 x^{5} \exp (- x^{2} / 4) \leq 24

für alle

x

aus

[- 1, 1]

, was auch stimmt, aber ich will das nicht zeigen müssen. :-)

gonnabeph aktiv_icon

12:24 Uhr, 26.10.2014

Ich habe es langsam glaube verstanden.
Ich kann nach den Grenzwertsätzen die Ausdrücke einzeln betrachten als:

lim_{x \to 0} 4 x^{3} e^{- x^{2} / 4} \sin (8 / x^{3}) - lim_{x \to 0} 0, 5 x^{5} - e^{- x^{2} / 4} \sin (8 / x^{3}) - lim_{x \to 0} 24 e^{- x^{2} / 4} \cos (8 / x^{3})

Nun kann ich bei den ersten beiden ja den Trick anwenden mit

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

.
Dann erhalte ich allerdings für den ersten also für:

lim_{x \to 0} 4 x^{3} e^{- x^{2} / 4} \sin (8 / x^{3}) = 32

. Für den zweiten also:

lim_{x \to 0} 0, 5 x^{5} - e^{- x^{2} / 4} \sin (8 / x^{3}) = 0

und der dritte macht dann Probleme ... also:

lim_{x \to 0} 24 e^{- x^{2} / 4} \cos (8 / x^{3}) = ?

\cos (x)

beschränkt ist durch

- 1

und

1

muss also

s u p f (x) = 24

und

i n f f (x) = - 24

sein? Muss ich nicht auch noch die Grenzen untersuchen? Ich meine dort könnte sich ja auch ein Wert

\geq 24

oder

\leq - 24

befinden? ...

Wie soll man die Aufgabe denn nun lösen? Ich meine das kommt mir irgendwie so vor als ob wir die Aufgabe bekommen haben mit dem Gedanken "macht mal!" :-D)

Schonmal danke! :-)

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12:26 Uhr, 26.10.2014

"Dann erhalte ich allerdings für den ersten also für"

Nein, das machst Du falsch. Es kommt da

0

raus, kuck was ich oben geschrieben habe.

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12:29 Uhr, 26.10.2014

"Muss ich nicht auch noch die Grenzen untersuchen?"

Nein, nur der Punkt

0

. Lasse Google den Graphen für Dich zeichnen, dann wirst Du es sehen.
Du hast zwei stetige Terme, welche in

0

den Wert

0

haben, und den dritten, der in

0

unstetig ist und bei

0

zwischen

- 24

und

24

oszilliert.
Supremum und Infinum liegen bei

0

, aber das ist leider wie gesagt nicht einfach zu zeigen. Wie - das ist klar, aber es ist viel Rechnerei. Du müsstest dann die Funktion, die ich oben angegeben habe, noch mal ableiten, um ihr Maximum zu finden. :((

gonnabeph aktiv_icon

12:36 Uhr, 26.10.2014

Und bei den zweiten ist das mit dem Trick richtig? Wieso soll das nicht auch für den ersten klappen? Das sehe ich nicht ...
Das scheint mir in der Tat viel zu viel Aufwand zu sein für eine kleine Teilaufgabe. Ich werde das nun einfach mit

s u p f (x) = 24

und

i n f f (x) = - 24

angeben und fertig.
Mich interessiert nur noch der Zusammenhang wieso es nicht bei dem ersten Summanden mit dem Trick klappt ...

Besten Dank für deine Geduld! :-)

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12:38 Uhr, 26.10.2014

Auch bei dem zweiten falsch.
Denn bei

x \to 0

hast Du

8 / x^{3} \to \infty

und "der Trick" gilt nur für

0

lim_{y \to 0} \frac{\sin (y)}{y} = 1

, aber

lim_{y \to \infty} \frac{\sin (y)}{y} = 0

.
Du musst besser aufpassen. ;-)

gonnabeph aktiv_icon

14:04 Uhr, 26.10.2014

Moment mal, ich habe doch bei dem ersten:

lim_{x \to 0} 4 x^{3} e^{- x^{2} / 4} \sin (8 / x^{3}) = lim_{x \to 0} e^{- x^{2} / 4} \cdot lim_{x \to 0} 4 x^{3} \sin (8 / x^{3})

= lim_{x \to 0} e^{- x^{2} / 4} \cdot lim_{x \to 0} 8 \cdot 4 \frac{\sin (8 / x^{3})}{8 / x^{3}}

und der Grenzwert ist doch dann das Gleiche wie

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Bescheuerte Aufgabe. Das ist jetzt auch meine letzte Frage zu der Aufgabe.

Besten dank trotzdem (obwohl ich es nicht wirklich gerallt habe ^^)

Gruß! :-)

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18:24 Uhr, 26.10.2014

"und der Grenzwert ist doch dann das Gleiche wie"

Nein, das ist falsch, ich habe schon geschrieben warum.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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