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Funktion mit Rampen-und Sprungfunktion beschreiben

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Rampen- und Sprungfunktion

azami1986 aktiv_icon

20:19 Uhr, 30.12.2009

Hallo Zusammen,

ich hab hier eine Aufgabe, bei dem es um die Darstelleung einer Funktion mit Rampen- und Sprungfunktionen geht.

Die Zeichnung findet Ihr weiter unten:

Mein Professor hat folgende Teilintervalle erstellt:

0 für

t < 0

h - \frac{h}{L} \cdot t

für

0 \leq t < \frac{L}{2}

- \frac{h}{2} + 2 \frac{h}{L} \cdot t

für

\frac{L}{2} \leq t < \frac{3}{4} L

4 h - 4 \frac{h}{L} \cdot t

für

\frac{3}{4} L \leq t < L

0 für

t \geq L

Die sind auch bisher richtig (gehe ich davon aus).

Nun hat er das Ganze hier mit Sprung- und Rampenfunktionen dargestellt. Das sieht dann folgenderweise aus:

h \cdot σ (t) - \frac{h}{L} r (t) + (3 \frac{h}{L}) r (t) - (6 \frac{h}{L}) r (t) + (4 \frac{h}{L}) r (t)

hierbei steht

σ (t)

für die Sprungfunktion und

r (t)

für die Rampenfunktion.

Ich verstehe nur nicht, wie er

z . B

. auf die

(3 \frac{h}{L})

oder

(6 \frac{h}{L})

kommt, weil oben bei den Intervallen sowas nicht steht.

Wie kommt mein Prof. dieses Ergebnis? Ich würde mich freuen, wenn Ihr mir helfen könnt.

MfG
Azami

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

MBler07 aktiv_icon

10:13 Uhr, 31.12.2009

Hi

Ich komme auf dieselben Intervalle. Willst du wissen wie?

Die Darstellung mit der Sprung- und Rampenfunktion ist

m . M . n

. unsinnig. Nach der Definition der Rampenfkt, die ich kenne, kann man

r (t)

(und natürlich auch

\frac{h}{L})

ausklammern. Dann steht da:

h \cdot σ (t) + \frac{h}{L} \cdot r (t) \cdot (- 1 + 3 - 6 + 4) = h \cdot σ (t) + \frac{h}{L} \cdot r (t) \cdot 0 = h \cdot σ (t)

Sinn macht das ganze nur mit Verzögerungen. Dann würde die Funktion lauten:

h \cdot σ (t) - \frac{h}{L} \cdot r (t) + 3 \cdot \frac{h}{L} \cdot r (t - \frac{L}{2}) - 6 \cdot \frac{h}{L} \cdot r (t - \frac{3}{4} L) + 4 \frac{h}{L} \cdot r (t - L)

In der Form sind auch die Koeffizienten leicht erklärbar.

Jetzt sag du erst nochmal was dazu.

Grüße

azami1986 aktiv_icon

12:10 Uhr, 31.12.2009

Danke für die Antwort.

So wie du hingeschrieben hast, sind die Koeffizienten leichter zu erkennen. Jedoch verstehe ich nicht wie man von diesen Intervallen:

0 für

t < 0

h - \frac{h}{L} \cdot t

für

0 \leq t < \frac{L}{2}

- \frac{h}{2} + 2 \frac{h}{L} \cdot t

für

\frac{L}{2} \leq t < \frac{3}{4} L

4 h - 4 \frac{h}{L} \cdot t

für

\frac{3}{4} L \leq t < L

0 für

t \geq L

In der Funktion auf die Werte

3 \cdot \frac{h}{L}

oder

6 \cdot \frac{h}{L}

kommt. Ich sehe in den Intervallen niergendswo eine

3 \cdot \frac{h}{L}

oder

6 \cdot \frac{h}{L}

. Wie berechnet er es, damit er auf diese Koeffizienten 3 und 6 kommt?

MfG
Azami

MBler07 aktiv_icon

14:14 Uhr, 01.01.2010

Wie gesagt: Sofern meine Formel stimmt, entstehen die Koeffizienten einfach durch Addition:
für

t < 0

sollte klar sein, dass alles Null ist.
für

0 < t < \frac{l}{2}

ist

+ 3 \frac{h}{L} \cdot r (t - \frac{l}{2}) - . .

. gleich Null. Somit sind die übrigen Koeffizienten gleich dem ersten Intervall.
für

\frac{l}{2} < t < \frac{3}{4} l

ist

- 6 \frac{h}{L} \cdot r (t - \frac{3}{4} L) + . .

. gleich Null. Damit bleibt:

h \cdot σ (t) - \frac{h}{L} \cdot r (t) + 3 \cdot \frac{h}{L} \cdot r (t - \frac{L}{2}) = h \cdot σ (t) - \frac{h}{L} \cdot t + 3 \cdot \frac{h}{l} \cdot t = h \cdot σ (t) + 2 \frac{h}{L} \cdot t

So in der Art sollte das gehen.

azami1986 aktiv_icon

15:13 Uhr, 01.01.2010

Du sagtest, dass man die Koeffizienten durch Addition bekommt. Was genau muss man addieren? Kannst du schrittweise zeigen, wie man beispielsweise auf die

3 \cdot \frac{h}{l}

kommt?

Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Sorry für die blöden Fragen.

MBler07 aktiv_icon

00:29 Uhr, 03.01.2010

Gibt keine blöden Fragen.

Du startest mit

h - \frac{h}{L} \cdot t (2

. Intervall). Das wird umgeschrieben in

h \cdot σ (t) - \frac{h}{L} \cdot r (t)

. Offensichtlich ist es das selbe. Jetzt kommt das zweite Intervall. Hier hat die Gerade die Steigung

+ 2 \frac{h}{L}

. Stellt sich die Frage, wie man von

- \frac{h}{L}

auf

+ 2 \frac{h}{l}

kommt. Genauer:

h \cdot σ (t) - \frac{h}{L} \cdot r (t) + x \cdot \frac{h}{L} \cdot r (t - \frac{L}{2})

Was muss

x

sein, damit sich für

t > \frac{L}{2}

h \cdot σ (t) + 2 \cdot \frac{h}{L} \cdot r (t)

ergibt?
Auch hier ist es einfach zu bestimmen:

x = 3

Jetzt klar?

azami1986 aktiv_icon

14:02 Uhr, 03.01.2010

Danke für die Antwort und für deine Mühe!

In diesen Termn müssen wir nun schauen, dass

t > \frac{L}{2}

h \cdot σ (t) - \frac{h}{L} \cdot r (t) + x \cdot \frac{h}{L} \cdot r (t - \frac{L}{2})

Du kommst nun auf

x = 3

wie löst du es auf? löst du den ganzen term nach

x

auf?

Kannst du es vielleicht schrittweise zeigen,

z . B

1 .) . .

2 .) . .

3 .) . .

.

Wäre sehr nett von dir, wenn du es auf diese Art und Weise lösen könntest. Ich hab das Gefühl, dass ich Dich mit dieser Aufgabe nerve :-). Ich hoffe du zeigst verständnis. Bin wirklich nicht gut in Mathe

: (

MfG
Azami

azami1986 aktiv_icon

15:13 Uhr, 03.01.2010

Ich habs doch verstanden. Sorry. Und vielen Dank nochmal für deine Mühe.

MfG
Azami

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