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Funktion mit arccos , sin und cos nach x auflösen

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Funktionen

Tags: Funktion, Winkelfunktion

squooshie aktiv_icon

14:47 Uhr, 04.09.2009

Hey Leute
habe folgendes Problem:
bei meinen Berechnungen muss ich zwei Winkel in abhängigkeit einer

x

koordinate bestimmen.Nun habe ich die Formeln etwas aufgelöst und hänge jetzt bei de rfolgenden Formel fest:

cos (α) = (K 1 - L 2 x cos

(arcsin

(\frac{- K 2 - L 1 x sin (α)}{L 2})) \frac{)}{L 1}

K 1, K 2, L 1, L 2

sind Konstanten, und alles soll nach

α

aufgelöst werden.

Ich hoffe mir kann jemand dabei helfen, denn ich hänge total fest.

mfg squooshie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

OmegaPirat

16:03 Uhr, 04.09.2009

hallo ich würd erstmal dafür sorgen, dass beim ausdruck cos(arcsin(z)) mit

z = \frac{- K 2 - L 1 \cdot sin (α)}{L 2}

das cos(arcsin verschwindet
benutze dabei den trigonometrischen Pythagoras cos(arcsin(z))=

\sqrt{1 - {sin}^{2} (a r c s i n (z))}

nun ist aber sin(arcsin(z))=z daraus folgt
cos(arcsin(z))=

\sqrt{1 - z^{2}}

damit hast du den ersten teil zum auflösen der gleichung schon vollbracht.

squooshie aktiv_icon

16:30 Uhr, 04.09.2009

hallo

danke für die schnelle antwort.

ich habe aber noch ein problem damit, und zwar schreibst du cos(arcsin(z))= $\sqrt{1 - \sin ² (\arcsin (z))}$ , und unter berücksichtigung von sin(arcsin(z))=z

wird daraus cos(arcsin(z))= $\sqrt{1 - z²}$ .

müsste da nicht noch ein sin drin stecken? es war doch vorher sin²

OmegaPirat

17:27 Uhr, 04.09.2009

nein das ist ja das tolle daran.

und zwar sind ja die arcus-funktionen die umkehrfunktionen der trigonometrischen funktion,

d . h

. sie heben sich auf
deshalb gilt sin(arcsin(z))=z
in deinem fall steht da aber cos(arcsin(z))
in diesem fall musst du es hinbekommen, dass du nur den ausdruck sin(arcsin(z)) da stehen hast. das gelingt über dem trigonometrischen pythagoras und zwar steht dann unter der wurzel sin(arcsin(z))
und da hebt sich das sin(arc weg
Ähnlich wie das quadrieren eine wurzel weghebt

das

z

muss dann ja noch quadriert werden, weil man das Quadrat des Ausdrucks unter der Wurzel stehen hat
im letzten schritt habe ich halt nur das sin²(arcsin(z)) durch z² ersetzt, was halt dasselbe ist. Oder ausführlicher:
sin²(arcsin(z))=(sin(arcsin(z))²=(z)²=z²

squooshie aktiv_icon

23:59 Uhr, 04.09.2009

so, hab jetzt endlich mal zZeit gefunden das weiter zu rechnen...

mit der von dir beschriebenen Vereinfachung komme ich nach dem Einsetzten des Ausdrucks für z auf

$\cos (α) = (K_{1} - L_{2} \sqrt{1 - (- K_{2} - L_{1} \sin (α)) / L_{2})) ²}) / L_{1}$

dort habe ich dann erstmal das L1 ausmultipliziert, und dann quadriert um die wurzel zu entfernen.

$(L_{1} \cos (α)) ² - K_{1} ² = - L_{2} (1 - (K_{2} ² + 2 K_{2} L_{1} \sin (α) + (L_{1} \sin (α)) ²) / L_{2})$

daraus folgt dann nach kurzem umstellen

$L_{1} (L_{1} \cos ² (α) - 2 K_{2} \sin (α) - L_{1} \sin ² (α)) = K_{1} ² - L_{2} + K_{2} ²$

der einfachheit halber habe ich dann K1²-L2+K2² zur neuen Konstante K3 gemacht.

nach erneutem umstellen komme ich dann auf

$L_{1} - 2 K_{2} \sin (α) - 2 K_{2} \sin ² (α) = K_{3} / L_{1}$

und nun fällt mir nicht ein, wie ich die ganzen sin(aplha) zusammenfassen kann, um nach alpha aufzulösen

OmegaPirat

20:18 Uhr, 05.09.2009

das ist einfach eine quadratische Gleichung, aber du hast schon vorher einen fehler beim Quadrieren gemacht
auf der linken seite stand soetwas
wie

a - b = . .

.
nach dem quadrieren
hast du dann geschrieben
a²-b²=...
das ist aber falsch, weil (a-b)²=a²-2ab+b²

squooshie aktiv_icon

16:41 Uhr, 06.09.2009

so, ich habe nun den fehler beim quadrieren behoben, das sollte dann so aussehen:

$L_{1} ² \cos ² (α) - 2 K_{1} L_{1} \cos (α) + K_{1} ² = L_{2} ² (1 - ((- K_{2} - L_{1} \sin (α)) / L_{2}) ²$

daraus wird dann nach dem ausmultiplizieren

$L_{1} ² \cos ² (α) - 2 K_{1} L_{1} \cos (α) + K_{1} ² = L_{2} ² - K_{2} ² - 2 K_{2} L_{1} \sin (α) - L_{1} ² \sin ² (α)$

danach habe ich $\cos ² (α)$ durch $0, 5 (1 + \cos (2 α))$ und $\sin ² (α)$ durch $0, 5 (1 - \cos (2 α))$ ersetzt und habe nun

$- 2 K_{1} L_{1} \cos (α) + 2 K_{2} L_{1} \sin (α) = - L_{1} ² - K_{1} ² + L_{2} ² - K_{2} ²$

ich hoffe mal das stimmt soweit.

wie kann ich jetzt cos und sinus irgendwie zusammenfassen, um letztendlich nach alpha aufzulösen?

OmegaPirat

17:34 Uhr, 06.09.2009

benutz nochmal den trigonometrischen pythagoras und ersetze dadurch den Kosinus oder den sinus und löse nach sinus bzw. kosinus auf

squooshie aktiv_icon

10:09 Uhr, 07.09.2009

guten morgen

wenn ich nochmal den trigonometrischen pythagoras benutze, bekomme ich wieder eine wurzel, und wenn ich diese dann quadriere, komme ich garnicht mehr weiter.

meinst du denn das ich bis dahin soweit alles richtig gerechnet habe? ich möchte nämlich nicht, dass meine gesamte arbeit umsonst war.

OmegaPirat

12:52 Uhr, 07.09.2009

du hast einen kleinen fehler gemacht, als du

L_{1}

auf die andere Seite holen wolltest und zwar musst du die gesamte Gleichung mit

L_{1}^{2}

multiplizieren

Du hast geschrieben

L_{1}^{2} \cdot {cos}^{2} (α) - 2 K 1 L 1 cos (α) + K_{1}^{2} = . .

.
richtig wäre

L_{1}^{2} \cdot {cos}^{2} (α) - 2 K 1 L 1^{2} cos (α) + L_{1}^{2} K_{1}^{2} = . .

.
ansonsten sind alle schritte korrekt, außer dass du es bei einem schritt etwas umständlich gemacht hast
Ich habe mir mal die mühe gemacht und es durchgerechnet
als ergebnis sollte dann folgendes rauskommen, wobei

A = \frac{- L_{1}^{2} + L_{2}^{2} - K_{1}^{2} L_{1}^{2} - K_{2}^{2}}{2 L_{1}}

cos (α) = - \frac{K_{1} L_{1}}{1 + K_{1} L_{1}} \pm \sqrt{{(\frac{K_{1} L_{1}}{1 + K_{1} L_{1}})}^{2} - (\frac{A^{2} - K_{2}^{2}}{1 + K_{1} L_{1}})}

Dabei geht die wurzel um den ganzen bruch. man müsste jetzt im einzelnen nochmal schauen, welche der beiden lösungen tatsächlich die ausgangsgleichung löst

squooshie aktiv_icon

15:13 Uhr, 07.09.2009

Danke für deine Hilfe.

Leider kann ich mit der Formel die Aufgabe nicht Lösen. Evtl habe ich mich an einer anderen Stelle zuvor verrechnet.

Ich werde wohl nochmal auf Problemsuche gehen müssen.

Mfg

Squooshie

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