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Funktion nach Vektor ableiten

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

mathematze777 aktiv_icon

11:39 Uhr, 31.03.2021

Hallo,

kann mir einer von euch sagen, wie ich eine Funktion in Abhängigkeit von zwei Vektoren nach einem dieser Vektoren ableiten kann.

Ich habe einen Funktionsvektor

f (x, u),

der verschiedene Funktionen enthält und den ich nach

x

ableiten muss.

u = {[a 000]}^{T}

x = {[000000000 x_{1} x_{2} x_{3}]}^{T}

Mir ist bekannt dass das Ergebnis eine Matrix sein muss, da partiell nach den einzelnen Elementen von

x

abgeleitet werden muss.

Jedoch ist mir nicht klar, was bei der Ableitung einer Funktion nach beispielsweise dem 1. Element von

x

("0") als Ergebnis herauskommt.

Vielen Dank schonmal im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

13:03 Uhr, 31.03.2021

Hallo
du kannst nicht nach einem Vektor ableiten! meinst du die Richtungsableitung in Richtung des Vektors x?
deine Darstellung von

x

ist mir allerdings unklar, was sollen die Nullen da sein? lauter Komponenten 0?
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

13:03 Uhr, 31.03.2021

war leider ein Doppel

mathematze777 aktiv_icon

13:13 Uhr, 31.03.2021

Das ist die Lösung aber ich kann mir nicht erklären wie ich darauf komme.

mathematze777 aktiv_icon

13:17 Uhr, 31.03.2021

x

ist hier ein Vektor im

R^{12}

und die Nuller sind Komponenten die mit 0 belegt sind.

mathematze777 aktiv_icon

13:28 Uhr, 31.03.2021

Hier ist mal die Regel nach der ich ableite.

pivot aktiv_icon

15:06 Uhr, 31.03.2021

Vielleicht auch mal ein Snapshot der Aufgabe posten.

mathematze777 aktiv_icon

15:37 Uhr, 31.03.2021

Das ist nicht direkt eine Aufgabe..
Das ist nur das Vorgehen bei der Linearisierung in einem Arbeitspunkt im Zustandsraum.

Unten sind nochmal die Funktionen, die es zu beschreiben gilt.

pivot aktiv_icon

15:46 Uhr, 31.03.2021

Dann schreibe dein Beispiel mal so auf, dass man es auch gut nachvollziehen kann. Der Latex-Code für

(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{matrix})

ist

$\left(\begin{array}{} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&j \\ \end{array}\right)$

Ansonsten sind im Link einige Regeln für die Differentation von Matrix-Termen aufgeschrieben:
www.math.uwaterloo.ca~hwolkowi/matrixcookbook.pdf

mathematze777 aktiv_icon

16:17 Uhr, 31.03.2021

f(x, u) =

(\begin{matrix} φ ˙ \approx p + r θ + q φ θ \\ θ \approx q - r φ \\ ψ ˙ \approx r + q φ \\ p ˙ \approx (I_{y} - I_{z}) / I_{x} * r * q + (τ_{x} + τ_{a}) / I_{x} \\ q ˙ \approx (I_{z} - I_{x}) / I_{y} * p * r + (τ_{y} + τ_{b}) / I_{y} \\ r ˙ \approx (I_{x} - I_{y}) / I z * p * q + τ_{z} + τ_{c} / I_{z} \\ u ˙ \approx r v - q w - g θ + f_{a} / m \\ v ˙ \approx p w - r u + g φ + f_{b} / m \\ w ˙ \approx q u - p v + g + (f_{b} - f_{t}) / m \\ x ˙ \approx w (φ ψ + θ) - v (ψ - φ θ) + u \\ y ˙ \approx v (1 + φ ψ θ) - w (φ - ψ θ) + u ψ \\ z ˙ \approx w - u θ + v φ \end{matrix})

x =

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ x \\ y \\ z \end{matrix})

u =

(\begin{matrix} m * g \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

d =

(\begin{matrix} f_{a} \\ f_{b} \\ f_{c} \\ τ_{a} \\ τ_{b} \\ τ_{c} \end{matrix})

f(x, u, d) = A * x + B * u + D * d

und A = ∂f(x,u)/∂x

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