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Funktion näherungsweise bestimmen

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Funktion bestimmen, Zeichnung

TermX aktiv_icon

09:57 Uhr, 09.03.2015

Hi,
ich soll vom Graphen

N

näherungsweise die Funktion bestimmen.
Ich dachte mir nichts weiter dabei und bestimmte erstmal den Grad der ganzrationalen Funktion.
Dieser wäre hier ja

3,

da 2Extrempunkte.

Dann habe ich mit vier Bedingungen rausgesucht:

n (- 1) = 0

n (1,5) = 0

n' (0,1) = 0

n (0) = 1

Nun hatte ich ja vier Bedingungen und konnte mithilfe einer Matrix meine Werte bestimmen.
Damit kam ich auf di Funktion:

n (x) = \frac{20}{157} \cdot x^{3} - \frac{344}{471} \cdot x^{2} + \frac{67}{471} \cdot x + 1

Als ich sicherhalbshalber nochmal die Funktion zeichnete, viel mir auf, dass meine Funktion bei

x = 5

nur den Funktionswert von-0,62 hat.
Zudem ist ihr Giefpunkt nur bei

n (x) = - 2,02

.
Der in der Zeichung ist aber viel weiter unten.

Meine Frage nun an euch:
Würde ich dafür trotzdem die Punkte bekommen, oder weicjt meine Funktion einfach zu stark vom Graphen ab?
Hättet ihr vieleicht irgendwelche Tipps, dass ich näher an die Vorgabe komme?

Danke im Voraus.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

10:10 Uhr, 09.03.2015

Korrektur

Eva88 aktiv_icon

10:49 Uhr, 09.03.2015

Stell doch mal die ganze Aufgabe rein.

TermX aktiv_icon

12:15 Uhr, 09.03.2015

Achso, ich hab das Bild vergessen.
Das ist natürlich dumm xD.

Tut mit leid.

Werner-Salomon aktiv_icon

14:07 Uhr, 09.03.2015

Hi,

zunächst: Deine Berechnung ist korrekt.

Wenn Du einen 'Fehler' gemacht hast, dann den, dass Du für die Bestimmung der Kurve Werte im Intervall [-1; 1,5] gewählt hast und nun annimmst, dass Du einen Wert bei z.B.

x = 5

damit berechnen kannst.
Das kannst Du nicht, weil die Werte, die Du annimmst sicher nicht exakt sind und schon bei kleinsten Änderung kann es außerhalb dieses Intervalls überproportional große Ausschläge geben.

Für ein Polynom 3.Grades benötigst Du 4 Punkte (nimm nur Punkte, keine Steigungen). In gewissen Sinne optimal ist es in diesem Fall, die Punkte bei 10%, 35%, 65% und 90% des Intervalls zu wählen.
Die Graphen beziehen sich auf ein Intervall von ca. [-2; 5]. Wähle daher die Punkte in etwa bei

x = - 1, 3

;

0, 4

;

2, 6

und

4, 3

und wiederhole Deine Berechnung noch einmal.
In dem Fall der Funktion N kannst Du auch

x = - 1

;

0

;

2, 5

und

5

nehmen, wenn sich das besser ablesen lässt. Das ist immer noch besser als Deine erste Wahl.

Gruß
Werner

TermX aktiv_icon

18:03 Uhr, 09.03.2015

ok, dankeschön

Bummerang

09:32 Uhr, 10.03.2015

Hallo,

also wenn ich mir die Zeichnung ansehe, dann sieht

N

aus wie die Ableitung von

L

und

M

wie die Ableitung von N. Mit anderen Worten: Wenn die Funktionsgleichung

f (x)

für

N

gesucht ist, dann ist

L

die Funktion

\int_{\frac{3}{2}}^{x} f (x) d x

und

M

ist

f' (x)

. Damit stehen für

N

plötzlich auch wieder Anstiege zur Verfügung. Ich würde gern die zu diesem Bild gehörende Aufgabenstellung im Original sehen. Ich denke, dass sich wegen dieser sich aus dem Bild möglicherweise ergebenden Verquickung der drei Graphen und der exakten Aufgabenstellung ein einfacher Weg zu Lösung ergibt.

Bummerang

12:48 Uhr, 10.03.2015

Hallo,

da noch keine Rückmeldung kam, habe ich mal das Ganze nach meinem zuvor vermuteten Zusammenhang berechnet:

Ich benutze mal für

L

die Bezeichnung

F (x),

für

N

die Bezeichnung

f (x) = F' (x)

und für

M

die Bezeichnung

f' (x) = F'' (x)

. Zu ermitteln gilt es

f (x),

also

F' (x)

. Ich mach dies, indem ich

F (x)

ermittle und

F' (x)

und

F'' (x)

ebenfalls benutze.

Was sieht man:

F (\frac{3}{2}) = 0

F' (\frac{3}{2}) = 0

F' (- 1) = 0

F' (0) = 1

F''' (\frac{5}{2}) = 0

Zur Erläuterung des letzten Wertes:

F'' (x)

scheint quadratisch zu sein und der Scheitelpunkt liegt demzufolge genau zwischen den Nullstellen bei knapp über 0 und genauso knapp unter 5 und damit ziemlich exakt bei

\frac{5}{2}

.

Basteln wir daraus mal eine Funktion vierten Grades:

F (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{3} + c \cdot x^{2} + d \cdot x + e

F' (x) = 4 \cdot a \cdot x^{3} + 3 \cdot b \cdot x^{2} + 2 \cdot c \cdot x + d

F'' (x) = 12 \cdot a \cdot x^{2} + 6 \cdot b \cdot x + 2 \cdot c

F''' (x) = 24 \cdot a \cdot x + 6 \cdot b

Darin die Vorgaben einsetzen:

F (\frac{3}{2}) = 0 = \frac{81}{16} \cdot a + \frac{27}{8} \cdot b + \frac{9}{4} \cdot c + \frac{3}{2} \cdot d + e

F' (\frac{3}{2}) = 0 = \frac{27}{2} \cdot a + \frac{27}{4} \cdot b + 3 \cdot c + d

F' (- 1) = 0 = - 4 \cdot a + 3 \cdot b - 2 \cdot c + d

F' (0) = 1 = 0 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c + d \Rightarrow d = 1

F''' (\frac{5}{2}) = 0 = 60 \cdot a + 6 \cdot b

Das ergibt das Gleichungssystem

(d = 1

bereits eingesetzt):

81 \cdot a + 54 \cdot b + 36 \cdot c + 16 \cdot e = - 24

54 \cdot a + 27 \cdot b + 12 \cdot c = - 4

- 4 \cdot a + 3 \cdot b - 2 \cdot c = - 1

60 \cdot a + 6 \cdot b = 0 = 3 \cdot b = - 30 \cdot a \lor 27 \cdot b = - 270 \cdot a

Die Erkenntnisse der letzten Gleichung setzen wir mal in die beiden mittleren Gleichungen ein und wir erhalten das neue Gleichungssystem:

81 \cdot a + 54 \cdot b + 36 \cdot c + 16 \cdot e = - 24

- 216 \cdot a + 12 \cdot c = - 4

- 34 \cdot a - 2 \cdot c = - 1 \Rightarrow 12 \cdot c = - 204 \cdot a + 6

60 \cdot a + 6 \cdot b = 0

Die Erkenntnisse der vorletzten Gleichung setzen wir mal in die zweite Gleichung ein und wir erhalten das neue Gleichungssystem, in dem wir die zweite Gleichung nach a auflösen können und mit den beiden letzten Gleichungen bereits a und

c

ermitteln können:

81 \cdot a + 54 \cdot b + 36 \cdot c + 16 \cdot e = - 24

- 420 \cdot a = - 10 \Rightarrow a = \frac{10}{420} = \frac{1}{42}

- 34 \cdot a - 2 \cdot c = - 1 \Rightarrow 12 \cdot c = - 204 \cdot \frac{1}{42} + 6 = - \frac{102}{21} + 6 \cdot \frac{21}{21} = \frac{- 102 + 126}{21} = \frac{24}{21} \Rightarrow c = \frac{1}{12} \cdot \frac{24}{21} = \frac{2}{21}

60 \cdot a + 6 \cdot b = 0 = b = - 10 \cdot \frac{1}{42} = - \frac{5}{21}

Bleibt zum Schluss noch

e

mit der ersten Gleichung zu ermitteln:

81 \cdot \frac{1}{42} + 54 \cdot (- \frac{5}{21}) + 36 \cdot \frac{2}{21} + 16 \cdot e = - 24

\frac{81}{42} - \frac{270}{21} + \frac{72}{21} + 16 \cdot e = - 24

\frac{81 - 540 + 144}{42} + 16 \cdot e = - 24

- \frac{315}{42} + 16 \cdot e = - 24

- \frac{105}{14} + 16 \cdot e = - 24

16 \cdot e = - 24 \cdot \frac{14}{14} + \frac{105}{14}

16 \cdot e = - \frac{336}{14} + \frac{105}{14}

16 \cdot e = - \frac{231}{14}

16 \cdot e = - \frac{33}{2}

e = - \frac{33}{32}

\Rightarrow

L : F (x) = \frac{1}{42} \cdot x^{4} - \frac{5}{21} \cdot x^{3} + \frac{2}{21} \cdot x^{2} + x - \frac{33}{32}

N : F' (x) = f (x) = \frac{2}{21} \cdot x^{3} - \frac{5}{7} \cdot x^{2} + \frac{4}{21} \cdot x + 1

M : F'' (x) = f' (x) = \frac{2}{7} \cdot x^{2} - \frac{10}{7} \cdot x + \frac{4}{21}

und ohne Zeichnung, nur der Vollständigkeit halber, weill auch

F''' (x)

verwendet wurde:

F''' (x) = f'' (x) = \frac{4}{7} \cdot x - \frac{10}{7}

Wie man an dem unten angehängten Plot von

F (x)

(L=blau),

F' (x)

(N=rot) und

F'' (x)

(M=grün) erkennen kann, trifft das Ergebnis die Vorgabe wirklich sehr schön...

TermX aktiv_icon

17:39 Uhr, 10.03.2015

Respekt xD.

Dann hast du aus den verschiedenen Graphen jeweils markante Punkte entnommen und diese dann anhand der Aufleitung und Ableitung mit Funktionen verknüpft.
Daraus hast du dann die verschiedenen Parameterwerte ermittelt.
Das ist nätürlich auch ein interessanter Ansatz.

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung.

P . S

. Bei dem Graphen handelt es sich laut Aufgabenstellung wirklich um die Stammfunktion bzw. die Ableitungsfunktion.
Ich habe aber nur das Bild reingestellt, da mich nur mal die gesuchte Funktion interessiert hat. Ich fragte mich: Wie kann man die am besten bestimmen, ohne dass man die anderen Graphen gegeben hat.
Da ich dann auf eine Funktion gekommen bin, die an manchen Stellen doch erheblich vom Graphen abwich, dachte ich mir ich frag mal wie man die am Besten bestimmt.

Aber jetzt ist alles klar.

Danke nochmals an alle.

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