Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Funktion von Schnittmenge enthält Schnittmenge ...

Funktion von Schnittmenge enthält Schnittmenge ...

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, mengen, Schnittmenge

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Betarest

Betarest aktiv_icon

21:31 Uhr, 15.11.2017

Antworten
Hallo,

Ich scheitere gerade am Verständniss eines mir vorliegenden Lösungsansatzes, um folgendes zu Beweisen:

f(A∩B)⊂f(A)∩f(B)

Demnach wird in diesem Lösungsansatz eingangs behauptet:

f(x)∈f(A∩B)⇒x∈A∩B

Ich halte dies bereits für falsch. Ich würde sagen, dies kann nur der Fall sein, sofern f monoton (oder sogar streng monoton?) ist.

Ist der Ansatz, richtig, oder falsch wie ich vermute?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:38 Uhr, 15.11.2017

Antworten
"Ich halte dies bereits für falsch."

Ja, das im Allgemeinen falsch.

"Ich würde sagen, dies kann nur der Fall sein, sofern f monoton (oder sogar streng monoton?) ist."

Mit Motonität hat das nichts zu tun. Aber mit Injektivität.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:40 Uhr, 15.11.2017

Antworten
f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) ist trotzdem immer richtig
Betarest

Betarest aktiv_icon

21:46 Uhr, 15.11.2017

Antworten
Okay, danke dafür schon mal. Ich dachte mir gleich, dass das unmöglich so sein konnte.
Dass die Umkehrung der Aussage die ich zu widerlegen habe nicht gilt, kann ich ja ganz einfach anhand eines Beispiels beweisen, Aber wie muss ich mich anlegen, um zu Beweisen, dass die Funktion der Schnittmenge die Schnittmenge der Funktionen beider Mengen enthält?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:56 Uhr, 15.11.2017

Antworten
Sei y beliebig aus f(A∩B). Per Definition existiert ein x∈A∩B mit f(x)=y. Wegen x∈A∩B gilt x∈A und x∈B. Daraus folgt f(x)∈f(A) und f(x)∈f(B). Also y=f(x) liegt in beiden f(A) und f(B), damit in f(A)∩f(B). Fertig.

Der kritische Punkt ist ganz am Anfang. Man darf nicht mit f(x)∈f(A∩B) anfangen, denn dieses x muss nicht unbedingt in A∩B liegen. Aber jeder Punkt aus f(A∩B) hat eine
Darstellung f(x) mit x∈A∩B.


Frage beantwortet
Betarest

Betarest aktiv_icon

22:07 Uhr, 15.11.2017

Antworten
PERFEKT. Danke. So ist auch ersichtlich, dass die Umkerhrung nicht gelten kann. Bei dem anderen vermeindlichem Beweis zu Ende geführt, hätte man genau so gut das Implikationszeichen in ein Equivalenzzeichen umformen können (bzw. nicht, weil bereits Implikation falsch war, aber angenommen sie hätte gestimmt). Das macht so Sinn. Vielen Dank für Deine Hilfe :-)