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Funktionale Relation

Schüler Gymnasium,

Tags: Funktion, Relation.

anonymous

11:52 Uhr, 13.11.2015

Hallo,

ich bräuchte bitte ein bisschen Hilfe bei funktionalen Relationen.

Erst einmal die Definition: Eine Relation

F

nennen wir eine funktionale Relation, falls gilt:

\forall x, y, z : ((x, y) \in F \land (x, z) \in F) \to y = z

.

1.) Warum MUSS

y = z

sein?

2.) Außerdem wird gesagt, dass es zu jedem

x

höchstens ein

y

mit

x F y

gibt (das ist klar).
,,Wir sagen dann:

x

wird durch

F

auf

y

abgebildet und schreiben

x \mapsto y

."
Nun, müsste es nicht

F : x \mapsto y

sein?

3.) Könntet ihr mir bitte noch ein oder zwei Beispiele zu funktionalen Relationen aufschreiben?
Das wäre super.

In Vorfreude auf Antworten
NeymarJunior :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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14:49 Uhr, 13.11.2015

y = z

in 1 bedeutet genau das: "für ein

x

gibt's höchstens ein

y

, so dass

F : x \to y

".

Beispiele:

x F y

<=>

y = x^{2}

oder

x F y

<=>

y = 2 x

auf der Menge aller reellen Zahlen.

anonymous

15:14 Uhr, 13.11.2015

DrBoogie, könntest du mir bitte noch 2.) beantworten? :-)

Nehmen wir als Beispiel die Funktion

y = x^{2}

, die du aufgeschrieben hast.
Formen wir diese nach

x

um, so erhalten wir

\pm y = x

.
Aber

x

ist doch kein Paar; nach der Definition einer Relation müsste doch aber
jedes Element einer Relation ein Paar sein.

DrBoogie aktiv_icon

15:32 Uhr, 13.11.2015

"DrBoogie, könntest du mir bitte noch 2.) beantworten? :-)"

Ich verstehe die Frage nicht. Ob Du

F : x \to y

schreibst, oder "

F

bildet

x \to y

", ist doch dasselbe. Man kann auch einfach

x \to y

schreiben, wenn klar ist, was die Abbildung ist.

"Nehmen wir als Beispiel die Funktion

y = x^{2}

, die du aufgeschrieben hast.
Formen wir diese nach

x

um."

Und warum zum Kuckkuck machst Du das? :-O
Warum sagst Du nicht: nehmen jetzt mal Logarithmus davon, dann vielleicht noch eine Wurzel, dann... Das ist doch noch viel interessanter! :-)

"Aber

x

ist doch kein Paar; nach der Definition einer Relation müsste doch aber
jedes Element einer Relation ein Paar sein."

Wer sagt denn, dass

x

ein Element der Relation ist? Ich habe doch geschrieben:

x F y

, das ist dasselbe wie

(x, y) \in F

, also ist

(x, y)

ein Element der Relation.

anonymous

15:41 Uhr, 13.11.2015

Ups, ich habe etwas verwechselt . . . Danke! ;-)

1.) Was wäre dann

(x, y)

in unserem konkreten Beispiel

y = x^{2}

?

2.) Warum kann man eigentlich

y = x^{2}

schreiben?
Klar,

x^{2}

hast du dir frei ausgesucht, du hättest auch

x^{100}

nehmen können.
Ich meine jetzt von der NOTATION. Im Skript steht, dass

y = F (x)

DrBoogie aktiv_icon

15:47 Uhr, 13.11.2015

(x, y)

wäre in unserem Fall

(x, y)

. :-)
Aber wenn

(x, y) \in F

, dann

y = x^{2}

, also

(x, y) = (x, x^{2})

.

2.

y = F (x)

ist nur die allgemeine Schreibweise. In konkretem Fall muss man

F

durch eine konkrete Funktion ersetzen. Z.B. durch Sinus. Also

y = \sin (x)

. Das sieht immer noch was genauso aus. Bei

y = x^{2}

sieht es schon anders aus, aber nur weil man irgendwann sich dafür entschied, für besonders einfache Funktionen verkürzte Schreibweise zu nutzen. Man könnte auch

y = p o t_{2} (x)

schreiben, mit der Funktion

p o t_{2} (x) = x^{2}

anonymous

16:06 Uhr, 13.11.2015

DrBoogie, worin liegt das Problem bei

y = x^{2}

? Ich ersetze doch

F (x)

durch

x^{2}

.

Und warum ist dann auch die Schreibweise

f (x) = x^{2}

geläufig bzw. weit verbreitet?
Weil man es sich so definiert, oder? Also dann hätte ich ja anstatt

x F y

stattdessen

x F f (x)

schreiben können.
Obwohl, macht

x F f (x)

Sinn?

DrBoogie aktiv_icon

16:24 Uhr, 13.11.2015

x F f (x)

macht durchaus Sinn und ich habe kein Problem bei der Schreibweise

y = x^{2}

.
Sonst driften wir schon zu sehr Richtung Philosophie, und das ist nicht mehr mein Fachgebiet. Also mein Vorschlag: entweder wir kehren zur Mathe zurück oder wir schließen den Thread.

anonymous

13:35 Uhr, 15.11.2015

Okay, dann befolge ich deinen Ratschlag und wir kehren zur Mathematik zurück. :-)

Ist

R

eine Relation, so definieren wir:

1.)

D (R) := {x ∣ \exists y : x R y}

als den Definitionsbereich von

R

.
Also hier wird nur definiert, dass ein

x

g e n a u

auf ein

y

mit der Abbildung/Funktion

R

abgebildet wird, oder?

2.)

B (R) := {y ∣ \exists x : x R y}

als das Bild der Relation

R

Wenn ich es richtig verstanden habe, dann kann es auch mehrere

x

geben,
die auf

y

abgebildet werden. Ist das richtig?
Könnte ich zu

B (R)

auch Werte- oder Zielbereich sagen?

3. Ist

R

eigentlich eine funktionale Relation? Dieses wird nicht explizit erwähnt.

Danke für deine Bemühungen, DrBoogie!

DrBoogie aktiv_icon

15:43 Uhr, 15.11.2015

"Also hier wird nur definiert, dass ein x genau auf ein y mit der Abbildung/Funktion R abgebildet wird, oder?"

Nö, auf mindestens ein

y

, über "genau ein" steht da nichts.

"Wenn ich es richtig verstanden habe, dann kann es auch mehrere x geben,
die auf y abgebildet werden. Ist das richtig?"

Richtig.

"Könnte ich zu B(R) auch Werte- oder Zielbereich sagen?"

Weiß ich nicht, bin mit der Notation nicht so ganz vertraut, sorry.

"Ist R eigentlich eine funktionale Relation? Dieses wird nicht explizit erwähnt."

Dann ist es auch nicht unbedingt eine funktionale Relation.
Für funktionale Relation müsste stehen: für ein

x

gibt's höchstens ein

y

mit

x R y

. Das steht da aber nicht.

anonymous

21:09 Uhr, 17.11.2015

Hi DrBoogie,

tut mir leid, dass ich mich erst jetzt melde! :-)

Also ad 1:

D (R) := {x ∣ \exists y : x R y}

Das heißt, es kann mehrere

y

zu einem

x

geben, sodass

x R y

erfüllt ist, richtig?
Warum heißt das dann ,,Definitionsbereich" (ernst gemeinte Frage)? Also ,,Bild der Relation"
macht für mich Sinn, hier haper ich gerade ein bisschen.

DrBoogie aktiv_icon

21:33 Uhr, 17.11.2015

"Das heißt, es kann mehrere y zu einem x geben, sodass xRy erfüllt ist, richtig?"

Ja.

"Warum heißt das dann ,,Definitionsbereich" (ernst gemeinte Frage)?"

Keine Ahnung.

anonymous

20:09 Uhr, 20.11.2015

Wieder einmal vielen Dank für deine großartige Hilfe, DrBoogie! ;-)

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