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Funktionen, Parameter, keine Extremstellen

Schüler Berufsoberschulen, 12. Klassenstufe

Extremwerte

Tags: Extremwert

Lilaloona aktiv_icon

23:06 Uhr, 18.05.2011

Hallooo :-)

Ich hoffe das mir hier jemand helfen kann... Ich übe zur Zeit fleißig für die Prüfungen, scheitere allerdings iiimmer wieder an einer bestimmten Aufgabenstellung

: (

80 %

haben wir Funktionsterme mit Parameter, und dazu oft die Aufgabe:

"Berechne die Werte für a an denen die Funktion keine Extremstellen besitzt."

In den Lösungen berechnen sie diese mit der Diskriminanten der ersten Ableitung... Warum ich die erste Ableitung brauche verstehe ich ja noch aber was hat die Diskriminante mit den Extremwerten zu tun??

Wenn sie negativ ist habe ich keine NS... des leuchtet mir noch ein.... aber warum habe ich keine Extremwerte wenn sie 0 ist (ich also eine doppelte Nullstelle habe) ??

Und überhaupt... bei ner Funktion 3ten Grades geht des ja mit der Mitternachtsformel... aber was bei Funktionen 1ten, oder 4ten Grades??

Sorryyy ich hab echt lange darüber nachgedacht aber ich verstehs einfach nicht, bin total verwirrt

: (

Lg Lilaloona

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

anonymous

00:50 Uhr, 19.05.2011

Ahoi,

wir sortieren mal vorab ;-) :

Extremstellen, durch:

f' (x) = 0

(und

f'' (x) \neq 0)

.
Es geht um eine Funktion 3. Grades (Funktionen 1. Grades sind Geraden, Funktionen 4. Grades haben stets einen Extrempunkt - das geht aus den Grenzwerten hervor, wie soll eine (stetige) Funktion beidseitig gegen

+,

bzw. - Unendlich laufen, ohne einen Extrempunkt zu besitzen?), wir betrachten eine Beispielfunktion(-enschar):

f_{a} (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 a x

Ableitung (bilden und) gleich Null:

3 x^{2} + 6 x + 3 a = 0

\Leftrightarrow x^{2} + 2 x + a = 0

Mitternachtsformel (PQ-Formel):

x_{1 | 2} = - \frac{2}{2} \pm \sqrt{1^{2} - a}

Nun kann man hier nur weiterrechnen, wenn

1 - a

nicht negativ ist, da man sonst die Wurzel nicht berechnen kann. Falls

1 - a

(die Diskriminante) also kleiner 0 ist, hat man noch nicht einmal Extremstellen-Kandidaten! Dazu eine kleine Nebenrechnung ;-) :

1 - a < 0

\Leftrightarrow a > 1

Für

a > 1

hat

f

also keine möglichen Extremstellen. Wenn die Diskriminante genau 0 ist, erhält man (wie du ja sagst) eine doppelte Nullstelle - hier bitte unbedingt: der Ableitung(!) anmerken. Diese hat zur Folge, dass auch

f''

an besagter Stelle 0 ist, wodurch sich ein Sattelpunkt (wiederum keine ES) ergibt. Also auch für:

1 - a = 0

\Leftrightarrow a = 1

gibt es keine Extremstellen! Insgesamt hat

f

für

a \geq 1

weder Hoch- noch Tiefpunkte.

Grüße, IP

Lilaloona aktiv_icon

13:51 Uhr, 20.05.2011

Aaaah ok :-)

Alles klar, dankeschöön :-)

lg Lilaloona

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