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Funktionen auf Differenzierbarkeit prüfen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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13:39 Uhr, 22.09.2014

Hey Leute,

ich möchte mal wissen, wie genau ich Funktionen auf Differenzierbarkeit prüfe.

Wie löse ich

z . B

. folgende Aufgabe:

"Prüfen sie folgende Funktionen auf Differenzierbarkeit im Definitionsbereich und berechnen sie ggf. die erste Ableitung":

a)

f : R \to R

f (x) = cos (x \cdot sin (x))

b)

f : R > 0 \to R

f (x) = \frac{x^{3}}{x + 1}

c)

f : R \to R

f (x) = x^{2} \cdot | x |

d)

f : R \to R

f (x) = x^{2} + | x |

Wir müssen uns nach diesem Script (Kapitel

5)

richten: ls4-www.cs.tu-dortmund.de/download/buchholz/mathe/MafI2_Skript_Teil1.pdf

Ich würde nun einfach

f' (x)

berechnen und falls ich

f' (x)

nicht berechnen kann darauf schließen, dass

f

nicht differenzierbar ist. Nun ist die frage ob man es so machen darf.
Hier meine Lösungen von einer differenzierbaren und einer nicht differenzierbaren Aufgabe:

a) f (x) = g (h (x))

Nach Satz

5.6

Kettenregel:

g (x) = cos (x) g' (x) = - sin (x)

h (x) = x \cdot sin (x) h' (x) = sin (x) + cos (x) \cdot x

(Produktregel Satz

5.4)

Es gilt

f' (x) = g' (h (x)) \cdot h' (x) = - sin (x \cdot sin (x)) \cdot (sin (x) + cos (x) x)

\Rightarrow

f'

existiert, ist

f

differenzierbar und es gilt

f' (x) = - sin (x \cdot sin (x)) \cdot (sin (x) + cos (x) x)

d)

Nach Satz

5.4

linearität:

f' (x) = x^{2}' + | x |'

| x |

ist nicht differenzierbar (siehe Script), somit gibt es kein

f' (x)

und somit ist

f

nicht differenzierbar.

Bei

c)

würd ich wie bei

d)

vorgehen, da man durch die Produktregel ja auch

| x |'

irgendwo rein bekommt.

Ich würde mich freuen, wenn mir jmd sagen kann, ob die Lösung so in Ordnung sind oder ob die Lösungen so (mit diesem Weg) nicht stimmen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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13:47 Uhr, 22.09.2014

"Ich würde nun einfach

f' (x)

berechnen und falls ich

f' (x)

nicht berechnen kann darauf schließen, dass f nicht differenzierbar ist. Nun ist die frage ob man es so machen darf."

Ist grundsätzlich richtig, außer dass es für die Nicht-Differenzierbarkeit nicht reicht zu sagen: ich konnte die Funktion nicht differenzieren.
Im Punkt c) z.B. zeigt man die Nicht-Differenzierbarkeit von

∣ x ∣

0

dadurch, dass

lim_{x \to + 0} \frac{∣ x ∣ - ∣ 0 ∣}{x - 0} \neq lim_{x \to - 0} \frac{∣ x ∣ - ∣ 0 ∣}{x - 0}

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14:08 Uhr, 22.09.2014

Okay danke.
Oben bin ich übrigens davon ausgegangen, dass

| x |

gar nicht differenzierbar ist, dabei ist die Funktion wie du sagst nur in 0 nicht differenzierbar.

Kann man die nicht differenzierbarkeit in 0 nicht auch dadurch zeigen, dass dann

f' (0)

durch 0 teilen würde und das somit nicht definiert ist?

Wie genau läuft das also ab mit überhaupt nicht differenzierbaren Funktionen oder Funktionen die in bestimmten Bereichen nicht diffbar sind?

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14:21 Uhr, 22.09.2014

"Kann man die nicht differenzierbarkeit in

0

nicht auch dadurch zeigen, dass dann

f' (0)

durch

0

teilen würde und das somit nicht definiert ist?"

Was Du schreibt, ergibt wenig Sinn. Für

f (x) = ∣ x ∣

kann man

f^{'} (0)

gar nicht definieren.

"Wie genau läuft das also ab mit überhaupt nicht differenzierbaren Funktionen oder Funktionen die in bestimmten Bereichen nicht diffbar sind?"

Es gibt zwar Funktionen, die überall nicht differenzierbar sind, aber das sind sehr künstliche Gebilde. "Normale" Funktionen sind höchtens in einigen Punkten nicht differenzierbar und nicht in ganzen Bereichen. Es läuft so, dass man einfach alle "verdächtigen" Funktionen kennt, denn es gibt nicht sehr viele davon (ich lasse unstetige Funktionen dabei außer Acht, denn wenn eine Funktion in einem Punkt nicht stetig ist, dann ist sie dort auch nicht differenzierbar), außer

∣ x ∣

0

gibt's noch verschiedene Wurzelfunktionen wie

\sqrt{x}

oder

\sqrt[3]{x}

. Noch ein populäres Beispiel ist

x \sin (1 / x)

(wieder in

0

), sonst fällt mir nichts ein.
Es kann natürlich vorkommen, dass eine "unbekannte" Funktion auftaucht, die man untersuchen muss. Nun, dann muss man einfach denken, schließlich geht es in Mathe primär darum. :-))

Tockra aktiv_icon

14:30 Uhr, 22.09.2014

Okay um das eben zusammenzufassen. Nicht stetige Funktionen sind auch nicht differenzierbar (wobei es ja auch nicht soo viele nicht stetige Funktionen gibt (zumindest fallen mir jetzt keine gängigen ein))

, | x |, \sqrt{x}

und

3_{\sqrt{x}}

sind nicht in 0 differenzierbar.
Stimmt das so?

Noch mal zu meiner Aussage, man kann ja

f (x) = | x |

ableiten zumindest machen das die Ableitungsrechner im Internet. Wie das genau geht weiß ich aktuell leider nicht

: f' (x) = \frac{x}{| x |}

und hier sieht man doch, dass gelten muss

x \in R

{

0}

da man ja nicht durch 0 teilen darf.

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14:40 Uhr, 22.09.2014

"Wie das genau geht weiß ich aktuell leider nicht"

Dann hast Du ein Problem. :-))
Lerne doch zumindest die Definition einer Ableitung. ;-)

Die Schreibweise

f^{'} (x) = \frac{x}{∣ x ∣}

ist überhaupt nicht hilfreich, denn das Problem gibt's nur im Punkt

0

und im Punkt

0

kann man nicht sagen, was denn dieser Bruch ist. Die Argumentation "man darf durch Null nicht teilen" ist dabei nicht korrekt, denn z.B.

\frac{\sin (x)}{x}

ist auch im

0

definiert und hat den Wert

1

, also gibt's sehr wohl Situationen, wo "durch Null teilen" möglich ist (natürlich nicht direkt, es geht hier um einen Grenzwert, aber auch eine Ableitung ist ein Grenzwert). Kurz gesagt - bei

∣ x ∣

ist das Problem nicht, dass man durch

0

teilen muss.

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14:46 Uhr, 22.09.2014

Noch ausführlicher zum Thema "durch

0

teilen":
wenn

f (x) = \sin (x) \cdot \sqrt{x}

, dann

f^{'} (x) = \cos (x) \cdot \sqrt{x} + \frac{\sin (x)}{2 \sqrt{x}}

und es sieht danach aus, dass es im

0

ein Problem gibt. Doch ist

f (x)

0

differenzierbar, denn wie ich sagte,

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = 1

, deshalb

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\sqrt{x}} = 0

Tockra aktiv_icon

14:48 Uhr, 22.09.2014

Die Definition

lim_{h \to 0} \frac{| x + h | - | x |}{h}

ist mir schon bekannt, aber ich komme damit nicht auf die oben genannte form...

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14:54 Uhr, 22.09.2014

"aber ich komme damit nicht auf die oben genannte form..."

1. Fall. x>0. Dann ist

∣ x ∣ = x

und

∣ x + h ∣ = x + h

für kleine (betragsmäßig)

h

,
also ist in diesem Fall

lim_{h \to 0} \frac{∣ x + h ∣ - ∣ x ∣}{h} = lim_{h \to 0} \frac{x + h - x}{h} = lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = 1

.

2. Fall. x<0. Dann ist

∣ x ∣ = - x

und

∣ x + h ∣ = - x - h

für kleine (betragsmäßig)

h

,
also ist in diesem Fall

lim_{h \to 0} \frac{∣ x + h ∣ - ∣ x ∣}{h} = lim_{h \to 0} \frac{- x - h + x}{h} = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h} = - 1

.

Insgesamt haben wir so die Funktion, die

1

für

x > 0

ist und

- 1

für

x < 0

, und das ist auch nichts anderes als

\frac{x}{∣ x ∣}

, oder auch

\frac{∣ x ∣}{x}

, so geht das auch.

Und bei

x = 0

ist

\frac{x}{∣ x ∣}

sowieso nicht definiert.

Tockra aktiv_icon

15:08 Uhr, 22.09.2014

Wie wirkt sich, denn nun die ganze Geschichte von

| x |

auf

f (x) = x^{2} + | x |

und

f (x) = x^{2} \cdot | x |

aus?

Kann man jetzt sagen die Funktionen sind nicht in 0 differenzierbar oder nicht?

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15:10 Uhr, 22.09.2014

Im ersten Fall ja, im zweiten nein.
Berechne den Grenzwert, dann wirst selber sehen. :-)

Tockra aktiv_icon

15:13 Uhr, 22.09.2014

Das kann doch nicht sein, dass ich bei jeder Ableitung noch die Differenzierbarkeit in bestimmten Punkten mit dem Limes prüfen muss. Gibt es da keine Regel oder sowas das es einem einfacher macht?

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15:17 Uhr, 22.09.2014

"Das kann doch nicht sein, dass ich bei jeder Ableitung noch die Differenzierbarkeit in bestimmten Punkten mit dem Limes prüfen muss."

Das musst Du auch nicht bei jeder Ableitung.
Aber in diesen Fällen leider doch. Es gibt nur die bekannten Regeln, dass z.B. Produkt von zwei diff-baren Funktionen diff-bar ist oder dass die Komposition von zwei diff-baren diff-bar ist. Aber hier helfen sie nicht. Du hast hier eine nicht diff-bare Funktion

∣ x ∣

und ein Produkt von einer diff-baren und einer nicht diff-baren kann alles mögliche sein.

x^{2} \cdot ∣ x ∣

ist z.B. diff-bar in

0

, aber

\cos (x) \cdot ∣ x ∣

nicht diff-bar in

0

Tockra aktiv_icon

15:27 Uhr, 22.09.2014

ok vielen Dank.

Bei einer deiner genannten Funktionen

z . B

\sqrt{x}

gilt ja

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x}}

lim_{x \to 0 +} \frac{1}{\sqrt{x}} = 1

(das ist auch logisch)

Aber wie berechne ich (für

x < 0

ist

\sqrt{x}

ja auch nicht definiert)

lim_{x \to 0 -} \frac{1}{\sqrt{x}}

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15:32 Uhr, 22.09.2014

Ich würde sagen, dass

lim_{x \to + 0} \frac{1}{\sqrt{x}} = \infty

und nicht

1

.
Und links von

0

geht natürlich nichts, deshalb kann man nur über rechtseitige Differenzierbarkeit sprechen. So gesehen ist es kein gutes Beispiel. Aber

\sqrt[3]{x}

ist überall definiert und stetig, in

0

aber nicht diff-bar, das ist ein besseres Beispiel.

Tockra aktiv_icon

15:53 Uhr, 22.09.2014

Okay sry war mein Fehler meinte natürlich unendlich.

Also ist

\sqrt{x}

nicht differenzierbar in

0,

lim_{x \to 0 -} \frac{1}{\sqrt{x}} =

nicht definiert

\neq \infty = lim_{x \to 0 +} \frac{1}{\sqrt{x}}

?

Wie komm ich darauf, dass

3_{\sqrt{x}}

nicht in 0 differenzierbar ist ?

Da gilt doch

lim_{x \to 0} \frac{3_{\sqrt{x}}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = lim_{x \to 0} \frac{1}{{(x^{2})}^{1}} / 3 = lim_{x \to 0} 3_{\sqrt{x^{2}}}

. Ich sehe da jetzt irgendwie keine unstimmigkeit ich würde sagen

lim x \to 0 . .

= 0

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16:06 Uhr, 22.09.2014

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \neq \sqrt[3]{x^{2}}

,
richtig ist

\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}

,
daher kommt

\infty

im Limes.

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