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Funktionen ohne Taschenrechner zeichnen

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Tags: Funktion

dicker2503 aktiv_icon

05:32 Uhr, 29.01.2015

Hallo Leute,

gibt es eine Möglichkeit Potenzfunktionen mit gebrochen rationalem Exponenten ohne Taschenrechner zu zeichnen.
Ich meine sowas wie

y = x^{0,003}

.

Liebe Grüße
Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Bummerang

09:19 Uhr, 29.01.2015

Hallo,

am einfachsten damit: de.wikipedia.org/wiki/Logarithmenpapier#Doppeltlogarithmisches_Papier , allerdings ist bei der Potenz von

0,003

und normaler Bleistifstärke der Graph praktisch nicht von der x-Achse zu unterscheiden. Da müsste man zusätzlich auf der y-Achse eine Streckung der Achse um einen großen Faktor in Kauf nehmen, um da wirklich was zu sehen. Bei einem normalen Koordinatensystem würde ich ohne es nachzuprüfen denken, dass (wieder normale Bleistiftstärke angenommen) auch hier ohne extreme Streckung der y-Achse der Graph, natürlich nur für positive

x,

nicht von der Geraden

y = 1

zu unterscheiden ist.

dicker2503 aktiv_icon

10:30 Uhr, 29.01.2015

Hallo,

ich hatte vielleicht zu vergessen zu erwähnen das wir nur Bleistift und normales Papier zu Verwendung haben. Es geht auch nicht nur um die eine Aufgabe sondern um den Aufgabentyp.
Es könnten auch folgende Funktionen sein:

y = x^{\frac{1}{3}}, y = x^{- \frac{1}{8}}

...sowas meine ich.
Außerdem stehen die Ableitungsfunktionen auch nicht zur Verfügung.

matusema aktiv_icon

11:23 Uhr, 29.01.2015

Wenn nur eine Skizze ausreichen soll, kannst ja einfach ein paar markante Punkte schnell im Kopf ausrechnen. zB wo der y-Achsenabschnitt ist, den Punkt

(1

| 1 .),

etc. Und was die Ableitung betrifft, die kann man bei der Aufgabenstellung idR auch schnell im Kopf ggf Schmierzettel ausrechnen. zB

x^{\frac{1}{3}}

geht ja einfach so.

dicker2503 aktiv_icon

11:28 Uhr, 29.01.2015

OK, also eine genaue Zeichnung kann man von einem Schüler der 9. Klasse ohne Taschenrechner nicht verlangen oder?

Bummerang

11:36 Uhr, 29.01.2015

Hallo,

auch Du hast sicher mal die Zweierpotenzen bis zur

10

in der Schule auswändig lernen müssen. Wenn man dann mal mit Rechnern zu tun hatte, zeigt es sich sehr schnelle, dass die ungefähre Kenntnis der Potenzen bis

16,

wenn nicht sogar bis

32

(und bei moderneren 64-Bit-systemen wohl auch bis zur

64),

ein sinnvolles Wissen ist. Aber allein mit der Kenntnis der Potenzen aus der Schule und mit etwas Überschlagsrechnung kommt man hier vollkommen aus. Man ermittelt einige Stützpunkte und man nimmt das Kurvenlineal (siehe de.wikipedia.org/wiki/Kurvenlineal#mediaviewer/File:Curve_stencils.jpg ; Der von der Forumssoftware erzeugte Link funktioniert nicht, man muss den Text bis einschließlich dem jpg kopieren und in ein anderes Browserfenster kopieren, leider)

Beispiel

x^{\frac{1}{3}} :

Man weiss, dass

x^{n}

für

n \neq 0

durch den Ursprung geht, da hat man schon mal einen Punkt. Offensichtlich ist der Punkt

(1; 1)

auch auf der Kurve und letztendlich noch der Punkt

(8; 2)

. Wem das nicht reicht, der weiss

512 = 2^{9} = 2^{3 \cdot 3} = {(2^{3})}^{3} = 8^{3}

und dementsprechend ist der Punkt

(0,512; 0,8)

auch auf dem Graphen. Oder weil

4096 = 2^{12} = 2^{4 \cdot 3} = {(2^{4})}^{3} = 16^{3}

ist, liegt auch

(4,096; 1,6)

auf dem Graphen. Wenn man nun noch

2^{21}

auf ca. 2 Millionen schätzt, dann folgt damit noch 2 Mio

≅ 2^{21} 2^{3 \cdot 7} = {(2^{7})}^{3} = 128^{3}

und der Punkt

(1,28; 2)

liegt so gut wie auf dem Graphen. Damit ergibt sich folgende Wertetabelle:

(\begin{matrix} x & 0 & 0,512 & 1 & 2 & 4,096 & 8 \\ y & 0 & 0,8 & 1 & 1,28 & 1,6 & 2 \end{matrix})

Beispiel

x^{- \frac{1}{8}} :

vielleicht später, kannst Du aber selbst mal probieren, geht analog,

\to 0, 1, 2^{8}

und

2^{16}

sind schon mal geeignete Werte...

dicker2503 aktiv_icon

11:49 Uhr, 29.01.2015

OK, wie hast du den Punkt

(8,2)

und die anderen Punkte außer 1 berechnet?

Bummerang

12:04 Uhr, 29.01.2015

Hallo,

"OK, wie hast du den Punkt

(8,2)

und die anderen Punkte außer 1 berechnet?"

Steht doch da!

"Man weiss, dass

x^{n}

für

n \neq 0

durch den Ursprung geht, da hat man schon mal einen Punkt."

"512

= 2^{9} = 2^{3 \cdot 3} = {(2^{3})}^{3} = 8^{3}

\Rightarrow 0,512 = \frac{512}{1000} = \frac{8^{3}}{10^{3}} = {(\frac{8}{10})}^{3} \Rightarrow (0,512; 0,8)

"2 Mio

≅ 2^{21} = 2^{3 \cdot 7} = {(2^{7})}^{3} = 128^{3}

\Rightarrow 2 = \frac{2000000}{1000000} ≅ \frac{128^{3}}{100^{3}} = {(\frac{128}{100})}^{3} \Rightarrow (2; 1,28)

"4096

= 2^{12} = 2^{4 \cdot 3} = {(2^{4})}^{3} = 16^{3}

\Rightarrow 4,096 = \frac{4096}{1000} = \frac{16^{3}}{10^{3}} = {(\frac{16}{10})}^{3} \Rightarrow (4,096; 1,6)

"Offensichtlich ist

. .

. auf der Kurve

. .

. noch der Punkt

(8;

2)" - Dass

8 = 2^{3}

ist, sollte klar sein!

Atlantik aktiv_icon

12:12 Uhr, 29.01.2015

Es geht auch so:

y = x^{\frac{1}{3}}

Aufstellung der Umkehrfunktion:

y = x^{\frac{1}{3}} |^{3}

y^{3} = x

x

und

y

vertauschen:

y = x^{3}

Nun mit Wertetabelle einige Werte ausrechnen und in das Koordinatensystem eintragen.

Dann die Punkte an

y = x

spiegeln.

mfG

Atlantik

ledum aktiv_icon

12:59 Uhr, 29.01.2015

Hallo
immer so umformen, dass man fanze potenzen hat.
also

x^{0} . 03 = y \in y^{100} = x^{3}

jetzt kannst du für

y

3er Potenzen einsetzen. also

y = 2^{3} = 8

x = 2^{100}

y = 0 . 2^{3} x = 0 . 2^{100}

dann sieht man direkt, dass bei gleichem Maßstab in

x -

und

y

Richtung nichts zu sehen ist, ändert also den Maßstab.
Gruß ledum

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