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Funktionsschar-Flächeninhalt i. Abhängigkeit von k

Schüler

Tags: Flächeninhalt, Funktionsschar

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21:03 Uhr, 09.04.2013

Hallo zusammen!

Ich habe gerade Probleme mit dieser Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionsschar

f_{k} : x \to - \frac{1}{k} x^{2} + k

mit k > 0

Für welches k ist der Inhalt der Fläche, die der Graph von

f_{k}

mit der x-Achse einschließt gerade 12 Flächeninhalte groß?

Mein Rechenvorschlag:

Habe zuerst die Nullstellen, bzw. die Integrationsgrenzen in Abhängigkeit von k errechnet indem ich

f_{k} (x) = 0

gesetzt habe.
Kam so auf:

x_{1} = k

und

x_{2} = - k

Nun hab ich die Integralrechnung durchgeführt und komme auf:

\int_{- k}^{k} (- \frac{1}{k} x^{2} + k) d x

- \frac{1}{3 k} * x^{3} + k x

[(- \frac{1}{3 k} * k^{3} + (k * k)) - ((- \frac{1}{3 k} * - k^{3}) + (k * - k))]

\frac{4}{3} k^{2}

Das Ergebnis "

\frac{4}{3} k^{2}

" wollte ich nun gleich 12 setzen und so das k bestimmen. Nur iwie kommt mir das Ergebnis falsch vor.

Würde mich freuen, wenn jemand drübergucken und mir ggf. weiterhelfen könnte :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ma-Ma aktiv_icon

21:22 Uhr, 09.04.2013

Ich hab für

k = \pm 3

.
Da

k > 0

also

k = 3

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ich würde mir die Sache aber wesentlich einfacher machen.

1)

Skizze

\to

wir sehen, symmetrisch.

2)

Integral in den Grenzen von 0 bis

k,

somit

A = 6

berechnen.

Mathebloeder aktiv_icon

22:44 Uhr, 09.04.2013

Danke für deine und sry für meine späte Antwort. O.o

Hmm genau auf das Ergebnis kam ich schließlich auch. Vielleicht zweifele ich auch zu viel.. :-D)
Das Zwischenergebnis

\frac{4}{3} k^{2}

stimmt auch wirklich? :-D)

Ma-Ma aktiv_icon

22:56 Uhr, 09.04.2013

Ich weiß nicht, ob Dein Zwischenergebnis

\frac{4}{3} k^{2}

stimmt.

Schauen wir mal:

\frac{4}{3} k^{2} = 12

k^{2} = 12 \cdot \frac{3}{4}

k^{2} = \frac{36}{4} = 9

k = \pm 3

k = 3

Jepp, passt.

Wie gesagt, mit Skizze und den Grenzen von 0 bis

k

ist´s einfacher zu rechnen.

LG Ma-Ma

Mathebloeder aktiv_icon

23:13 Uhr, 09.04.2013

Vielen Dank für deine Hilfe!
Damit ist die Aufgabe ja ansich gelöst. :-) Ich glaube, aus Spasss werd ich aber gleich nochmal mit deiner Methode rechnen.

Ma-Ma aktiv_icon

23:16 Uhr, 09.04.2013

Gute Idee. Du musst Dir aber sicher sein, dass der Graph symmetrisch ist.
LG Ma-Ma

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