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Ganzrationale Funktion Grad bestimmen
Schüler Berufliches Gymnasium,
Tags: Funktion, ganzrational, Grad
 
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Hallo, Wir haben in der Schule eine Aufgabe behandelt, bei der wir den möglichst niedrigsten Grad einer ganzrationalen Funktion durch gegebene Werte bestimmen sollten. Die Werte stehen im Anhang+ eine von mir angefertigte Skizze. Ich war der festen Überzeugung, dass es Grad 3 ist. Es gibt insgesamt 3 Nullstellen, einen Wendepunkt und einen Hoch und Tiefpunkt. Also zusammengefasst: 3NS-->Grad 3 1Wendep.-->Grad 3 2Extrempunkte-->Grad 3 Jedoch gibt es noch einen Sattelpunkt. Zählt der auch als Extremstelle? Wenn er nicht zählen würde, spräche ja alles für einen 3. Grad. Wenn er auch zählen würde, spräche ja alles für einen 4. Grad. Aber warum haben wir dann als Lösung in der Schule den Grad 5 besprochen. Begründung: Wir sollen die Punkte zu Hause mal in ein Koordinatensystem einzeichnen. Dann würden wir sehen, dass es max.5 Nullstellen gibt. Aber ich hab ihn jetzt mal gezeichnet und egal wie ich ihn verschiebe, es bleiben immer 3 Nullstellen . Wer hat nun recht? Was würdet ihr zum Grad der Funktion sagen? Danke für eure Antworten.   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Wenn Du eine Funktion des dritten Grades hättest, dann wäre vom zweiten Grad und deshalb hätte höchstens 2 verschiedene Nullstellen. Aber hat mindestens drei Nullstellen (, und ), also kann nicht vom dritten Grad sein. |
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Ok, das leuchtet ein. damit wäre der 3.Grad weg. Aber was ist mit dem 4.Grad? Warum ist Grad der 5.Grad richtig? Was spricht gegen den 4.Grad? |
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Beim 4. Grad wäre vom zweiten Grad, könnte also nur höchstens zwei Nullstellen haben. Aber wenn wir die Tabellenwerte für ansehen, stellen wir fest, dass drei Nullstellen haben muss - zwischen und , zwischen und und noch , denn da ist ja eine Nullstelle. Warum z.B. zwischen und eine Nullstelle haben muss - weil und , irgendwo dazwischen muss also schon eine Nullstelle sein. :-) |
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Ach klar, das leuchtet mir ein. ;-) Also muss man bei so einer Aufgabe immer die Ableitungen auch mit anschauen. Also am Besten überall überlegen wie viele Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte die Ableitungen haben. Vielen Dank für deine Hilfe. Aber eine Frage habe ich noch: Zählen Sattelpunktes auch zu den Extremstellen. Also wenn ich jetzt zB. Einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt und noch einen Sattelpunkt habe, Muss ich dann Grad 3 oder Grad 2 nehmen? |
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Im Sattelpunkt ist auch , also zwei Extrempunkte + ein Sattelpunkt => drei Nullstellen von => Grad von ist mindestens . |
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Ok, Die Stellen mit Steigung 0 sind ja bei der Ableitung Nullstellen. Da die Ableitung ja immer einen Grad weniger hat wie die Stammfunktion ergibt sich bei 3 NT für f' für f 4. Grad. Ok, ich danke dir für deine Hilfe :-D) |
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