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Ganzrationale Funktionen 3. Grades
Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Extrema, Extrempunkt, Extremstellen, Ganzrationale Funktion 3. Grades, Koeffizient
 
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Erstmal Hallo zusammen. Meine Frage bezüglich von Extremstellen ganzrationaler Funktionen 3. Grades wäre, welche Bedingung die Koeffizienten einer ganzrationaler Funktion 3. Grades haben muss, damit ihr Schaubild Extremstellen besitzt. Mein bisheriger Lösungsansatz sieht wie folgt aus: 1. Allgemeine Form ganzrationaler Funktion 3. Grades: anX^n an-1X^n-1 2. Bedingung aufstellen Bedingung: an darf nicht gleich 0 sein. So, jetzt wäre meine Frage: Ist mein Lösungsansatz richtig? Wenn ja, ist es ausreichend? MERKE: AUFGABE MUSS RECHNERICH GELÖST WERDEN, NICHT ZEICHNERISCH. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Extrema (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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. Allgemeine Form ganzrationaler Funktion 3. Grades: anX^n an-1X^n-1 Geht es dir nun um ein Polynom dritten Grades oder um ein allgemeines Polynom n-ten Grades? Bedingung: an darf nicht gleich 0 sein. Warum? Weil es dann nur ein Polynom von maximal (n-1)-tem Grad wäre? Das hätte aber mit den Extremstellen wenig zu tun (es gibt eben dann eine weniger). Ist mein Lösungsansatz richtig? Ansatz wofür? Du hast eingangs geschrieben, dass es dir um eine Bedingung geht, um festzustellen, ob der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades Extremstellen hat. Hat er immer, und zwar genau zwei Stück. Nur sind diese nicht immer reell und nicht immer getrennt (dann haben wir einen Sattelpunkt). In deinem "Ansatz" kommt ja überhaupt nichts vor, was auf Extremwerte schließen lassen würde. Das einzige, was dein Ansatz garantiert, ist, dass es sich wirklich um eine Polynomfunktion handelt und dass diese auch tatsächlich den Maximalgrad hat . Von Extremstellen keine Spur! Wie findet man denn die Extremstellen? Spiel das allgemein durch (wohl besser nur mt Grad und überprüfe dann, was für die Koeffizienten gelten muss, damit es zwei reell getrennte Werte gibt (denn nur dann hast du Extremstelln). |
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Erstmal Danke für deine Antwort Roman-22, Um die Frage nochmal klar zu stellen, Es geht um ganzrationale Funktionen 3 Grades. Und die Aufgabenstellung lautet: Zeigen sie rechnerisch: Gilt für die Koeffizienten einer ganzrationaler Funktion 3. Grades eine bestimmte Bedingung, so besitzt ihr Schaubild Extremstellen (Bedingung ist auch anzugeben) Jetzt ist mein Problem dass ich nicht weiß wie ich das angehen soll. Mir sind die Bedingung für die Existenz von Extremstellen bekannt, jedoch nicht welche Bedingung ihre Koeffizienten erfüllen müssen. Würde mich für einen Lösungsweg sehr freuen! |
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Ich wiederhole meine Frage. Wie findest du Extremstellen einer beliebigen Funktion? Wie sieht eine Polynomfunktion dritten Grades allgemein aus (ohne etc.) Wende nun die Methode von auf an. Schreibe hier auf, was du erhältst. |
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1. Bedingung für Extremstellen und nicht 2. Allgemeine Form Polynomfunktion 3. Grades ax^3 bx^2 cx 3. Anwendung 1. Ableiten 3ax^2 2bx 6ax 3ax^2 2bx Unter Anwendung der ABC- Formel bekomme Ich für 2b+2mal unter der Wurzel 3ac, mal unter der Wurzel 3ac. Ich habe hier schon bedenken dass die Lösung nicht stimmen kann. Ansonsten müsste man danach die Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen und überprüfen ob nicht gleich 0 ist. Ich habe aber immer noch kein Bezug zu den Koeffizienten herstellen können. Für eine Antwort würde ich mich sehr freuen! |
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f′(x)=0= 3ax^2 2bx Soweit, so gut. Und wenn du zB zwischen 3 und a und a und (etc.) einen Abstand tippst, dann wirds auch was mit dem lesbaren Formelsatz (Als Ableitungssymbol das Apostropgh auf der #-Tasste verwenden). Unter Anwendung der ABC- Formel bekomme Ich für 2b+2mal unter der Wurzel 3ac, mal unter der Wurzel 3ac. Das ist leider unlesbar, aber vermutlich falsch. Die ABC-Formel sollte nach dem Kürzen von 2 die Lösungen liefern. Das gilt aber nur für (echte Funktion dritten Grades) und interessant ist jetzt nur der Ausdruck unter der Wurzel, denn für zwei reell getrennte Lösungen sollte dieser positiv sein. |
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Vielen Dank für deine Antwort Roman-22 Ich entschuldige mich für die Unlesbarkeit meiner Formeln, bin noch Laie was solche Foren betrifft, erst Gestern angemeldet. Also nach deiner Lösung kann man ja sagen das alle Funktionen mindestens eine Extremstelle haben deren Grad größer als 1 ist. Oder? Also keine Gerade. Würde die Begründung, das der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ausfallen darf reichen, um meine Frage (Welche Bedingung die Koeffizienten einer ganzrationalen Funktion 3. Grades erfüllen muss, damit sie Extremstellen besitzt) ausreichen? Weil wie oben erwähnt, fällt ja dann bei jeder Funktion mit dem Grad größer als eins, der Ausdruck unter der Wurzel positiv. Also gibt es explizit für ganzrationalen Funktionen 3. Grades keine Besonderheit was die Koeffizienten im Bezug der Extremstellen betrifft? |
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Also nach deiner Lösung kann man ja sagen das alle Funktionen mindestens eine Extremstelle haben deren Grad größer als 1 ist. Nein, das stimmt nicht, wenn wir, wie vermutlich üblich, nur reelle Extremstellen gelten lassen. Einfachstes Gegenbeispiel: mit einem Terassenpunkt hat eine Doppellösung) oder bei der keine reellen Lösungen hat. Würde die Begründung, das der Ausdruck unter der Wurzel nicht negativ ausfallen darf reichen, um meine Frage (Welche Bedingung die Koeffizienten einer ganzrationalen Funktion 3. Grades erfüllen muss, damit sie Extremstellen besitzt) ausreichen? Ja, wenn du die Bedingung konkret auf den Punkt bringst. Weil wie oben erwähnt, fällt ja dann bei jeder Funktion mit dem Grad größer als eins, der Ausdruck unter der Wurzel positiv. NEIN!! Wieso denn. Wie kommst du da drauf, dass der Ausdruck unter Wurzel automatisch positiv ist? Gegenbeisiel siehe oben. |
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Vielen Dank Roman-22 für deine Antworten. Jetzt habe ich es endlich verstanden! |
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Vielen Dank Roman-22 für deine Antworten. Jetzt habe ich es endlich verstanden! Fein! Eine Anmerkung noch: Die Bedingung gilt zunächst ja nur für den Fall . Sieh man sich den Fall aber näher an, so ergibt sich dort rasch als Bedingung und dieser ist im Grunde für in der Bedingung mit enthalten, sodass die Unterscheidung und nicht gemacht werden muss - die Bedingung gilt für beide Fälle. |
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Vielen Dank für diese Zusatzinformation! |
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