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Gemeinsamer Punkt bei einer Funktionsschar

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Analysis, Funktion, Schar, Term

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22:03 Uhr, 14.10.2016

Ich soll für die Klausur wissen, wie man bei einer Funktionenschar den Punkt herausfindet, den alle dieser Graphen der Funktionsschar gemeinsam haben und ich verzweifle.. Und zwar ist die Funktionsschar

f (x) = x^{3} + t * x^{2} + (t - 1) * x

gegeben.

Ich weiß, dass ich jetzt diese Funktionsschar mit sich selbst gleichsetzen soll, nur mit einem anderen Parameter und dann müsste es ja heißen:

x^{3} + t * x^{2} + (t - 1) * x = x^{3} + k * x^{2} + (k - 1) * x

Und dann fängt's bei mir auch schon an.. :( Ziel ist es doch, am Ende nach x aufzulösen? Ich muss das hier also einfach nur vereinfachen?
Kann ich dann damit anfangen

(k - 1) * x

auszumultiplizieren, sodass ich habe:

k * x - x

und dann die gesamte Funktionsschar ausklammere?

Die Lösung zu der Aufgabe habe ich, jedoch kann ich den Lösungsweg kein bisschen nachvollziehen.. Ich hoffe, ihr könnt mir bisschen helfen :(

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Rechnen mit Klammern
Terme aufstellen und gliedern
Terme vereinfachen - Fortgeschritten

Respon

22:11 Uhr, 14.10.2016

Vorerst erkennt man sofort, dass alle Kurven durch den Koordinatenursprung gehen.

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22:15 Uhr, 14.10.2016

Nachdem man die Funktionsschar ausklammert, oder?

Respon

22:21 Uhr, 14.10.2016

x^{3} + t \cdot x^{2} + (t - 1) \cdot x = x^{3} + k \cdot x^{2} + (k - 1) \cdot x

x \cdot [t \cdot x + t - 1 - k \cdot x - k + 1] = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

t (x + 1) - k \cdot (x + 1) = 0

(x + 1) \cdot (t - k) = 0

Da wir

k \neq t

vorausgesetzt haben

\Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1

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22:26 Uhr, 14.10.2016

Wie kommen Sie auf die zweite Zeile? Ich kann das nicht ganz nachvollziehen

Respon

22:33 Uhr, 14.10.2016

x^{3} + t \cdot x^{2} + (t - 1) \cdot x = x^{3} + k \cdot x^{2} + (k - 1) \cdot x

| - x^{3}

t \cdot x^{2} + (t - 1) \cdot x = k \cdot x^{2} + (k - 1) \cdot x

t \cdot x^{2} + (t - 1) \cdot x - k \cdot x^{2} - (k - 1) \cdot x = 0

x \cdot [t \cdot x + t - 1 - k \cdot x - k + 1] = 0 \Rightarrow x_{1} = 0

t \cdot x + t - k \cdot x - k = 0

t \cdot (x + 1) - k (x + 1) = 0

(x + 1) \cdot (t - k) = 0

usw.

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22:40 Uhr, 14.10.2016

Danke :-) Also fällt am Ende einfach das (t-k) weg?1

Respon

22:45 Uhr, 14.10.2016

Nein, so ist es nicht.
Zuletzt erhält man also

(x + 1) \cdot (t - k) = 0

Satz vom Nullprodukt: Ist ein Produkt

0,

so ist entweder der erste oder der zweite Faktor 0. Da wir aber

t \neq k

vorausgesetzt haben, kann der Faktor

(t - k)

nicht 0 sein.

\Rightarrow

der Faktor

(x + 1)

muss 0 sein.

x + 1 = 0 \Rightarrow x_{2} = - 1

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22:48 Uhr, 14.10.2016

also weil t ungleich k sein muss?

Respon

22:52 Uhr, 14.10.2016

Natürlich muss

t \neq k

sein. Wir sollen ja zeigen, das der besagte Punkt für ALLE Parameter gleich bleibt.

Stephan4

23:08 Uhr, 14.10.2016

Nicht weil

t \neq k

SEIN MUSS, wie Du geschrieben hast, sondern weil

t \neq k

IST.

Denn davon bist Du ja ausgegangen.

Du kannst ja für

t

zwei verschiedene konkrete Zahlen einsetzen und die Funktionen gleichsetzen, um für diesen konkreten Fall die gemeinsamen Punkte zu erhalten.

zB

t = 10

und

t = 2

x^{3} - 10 x^{2} + (10 - 1) x = x^{3} - 2 x^{2} + (2 - 1) x

dann erhälst Du

x = - 1

Das kommt immer raus, wenn Du zwei verschiedene Zahlen einsetzt, was ja übrigens schon oben bewiesen wurde.

Eben, WEIL Du zwei verschiedene Zahlen einsetzt.

:-)

Atlantik aktiv_icon

09:13 Uhr, 15.10.2016

Kann man es nicht gleich so darstellen?

x^{3} + t \cdot x^{2} + (t - 1) \cdot x = 0

x (x^{2} + t x + (t - 1)) = 0

x_{1} = 0

x^{2} + t x = - (t - 1) = 1 - t

{(x + \frac{t}{2})}^{2} = 1 - t + \frac{t^{2}}{4}

x_{2} = - \frac{t}{2} + \sqrt{1 - t + \frac{t^{2}}{4}}

x_{3} = - \frac{t}{2} - \sqrt{1 - t + \frac{t^{2}}{4}}

Die beiden weiteren Nullstellen sind von

t

abhängig. Somit ist die Nullstelle

x = 0

der gemeinsame Punkt aller Parabeln.

mfG

Atlantik

abakus

10:51 Uhr, 15.10.2016

Es ist übrigens nicht notwendig, die Aufgabe so allgemein (mit "k" und "t") anzugehen.
Als erster Ansatz ist es ausreichend, nur zwei KONKRETE Funktionen der Schar (z.B. für t=0 und t=1) auf gemeinsame Punkte zu untersuchen. (Der gemeinsame Punkt ALLER Graphen der Schar ist natürlich auch der gemeinsame Punkt von nur zwei dieser Graphen.)

Von dem/den gefundenen gemeinsamen Punkt/en der zwei Graphen muss man nur in Form einer Probe testen, ob er/sie auf allen Graphen liegt/liegen.

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20:31 Uhr, 15.10.2016

Danke schön für eure Antworten, ich kann es jetzt besser nachvollziehen!!! :-)

dislife aktiv_icon

20:31 Uhr, 15.10.2016

Danke schön für eure Antworten, ich kann es jetzt besser nachvollziehen!!! :-)

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