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Gerade ax+by=c

Universität / Fachhochschule

Tags: geometrische bedeutung, Geradengleichung, Steigung

wayner90 aktiv_icon

16:30 Uhr, 09.11.2010

hi,

habe folgende Aufgabe: gegeben ist folgende Gerade: ax+by=c

1)Welche besondere eigenschaft hat die gerade für c=0?
2)Sei c=1. Welche geometrische bedeutung hat dann a und b? was bedeutet dies für eine gerade mit der gleichung x/a + y/b = 1
3)berechnen sie die steigung m
4)was bedeutet m=0 für a und b?

meine Lösungsideen:

zu 1)habe zuerst die gleichung nach y aufgelößt
c=0 -> bedeutet y-achsenabschnitt=0, d.h. gerade geht durch urpsrung (0|0)
zu 2)-je größer b ,desto kleine der y achsenabschnitt
-je kleiner b , desto steiler die gerade(m wird größer)
je größer a, desto steiler die gerade, d.h. m wird größer

für die 2.Gleichung gilt: -je größer b ,desto größer der y-achsenabschnitt
und desto größer auch die steigung m.
-je größer a, desto flacher wird die gerade, d.h. m wird
kleiner.

3)m=-a/b
4)wenn m=0 -> dann gilt a=0,d.h. wenn m =0 liegt eine parallele zur y achse vor mit der gleichung y=c/b. dabei gilt: je größer b, desto kleiner der y-achsenabschnitt.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Geraden im Raum

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

wayner90 aktiv_icon

16:31 Uhr, 09.11.2010

hab was vergessen^^

wäre nice, wenn ihr mir sagen könnt, ob die lösungen von mir stimmen bzw. was zu verbessern ist.

wayner90 aktiv_icon

17:55 Uhr, 09.11.2010

keiner ahnung davon, der mal kurz überprüfen kann?

BjBot aktiv_icon

18:11 Uhr, 09.11.2010

1)

Ursprungsgerade stimmt

2)

Was hier wohl erkannt werden sollte ist, dass in ax+by=1 der Term

\frac{1}{a}

die Nullstelle der Gerade (x-Achsenabschnitt) und

\frac{1}{b}

die Schnittstelle mit der y-Achse angibt. Die Gleichung

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

wird auch Achsenabschnittsform einer Geraden mit den Achsenabschnitten a (x-Achse) und

b

(y-Achse) genannt.

3)

und

4)

sollten stimmen, nur kannst du nicht sagen, dass wenn

b

größer wird automatisch auch der y-Achsenabschnitt kleiner wird, denn das gilt nur wenn

c

dann auch konstant bleibt.

wayner90 aktiv_icon

18:53 Uhr, 09.11.2010

hi,
danke erstmal für deine antwort.

bei aufg.2 hab ich für die nullstelle, d.h. für den schnittpunkt mit der x achse nicht 1/a raus, sondern nur a und für den y-achsenabschnitt(x=0) hab ich y=b raus und nicht 1/b... kann das sein?

kann man bei aufg 4 schreiben:
wenn m=0, dann ist automatisch a=0, da -a/b=0 sein muss. und wenn m=0, hat b keinen einfluss mehr auf die geradensteigung, sondern nur noch auf den y-achsenabschnitt. und zwar: bei konstant bleibendem c wird der y-achsenabschnitt kleiner, je größer b ist.

passt das so?

BjBot aktiv_icon

19:03 Uhr, 09.11.2010

2)

Schnittpunkte mit der x-Achse haben ja als y-Koordinate immer null.
Damit folgt doch aus ax+by=1 sofort ax=1

\Leftrightarrow x = \frac{1}{a}

Analog für den Schnittpunkt mit der y-Achse.

zu

4)

Hört sich gut an :-)
Man könnte auch noch den Speziallfall

b = 0

erwähnen und sich überlegen was dann passiert.
Auch bei

2)

könnte man noch erwähnen, dass a und

b

zunächst mal ungleich null sein müssen, da sie im Nenner stehen und sich dann noch (falls verlangt) Gedanken über die entsprechenden Spezialfälle machen.

wayner90 aktiv_icon

19:28 Uhr, 09.11.2010

hi nochmal :-D)

1 und 3 sind ja klar...

______________________

bei 2 habe ich jetzt folgendes: sp mit x und y achse berechnet, d.h. x=1/a und y=1/b... kann man dann auf die frage der geometrischen bedeutung antworten, dass a und b einfluss nehmen auf die lage der schnittpunkte mit der jeweiligen achse.

was bedeutet dies für eine gerade mit der gleichung x/a+y/b=1...
hier hab ich zunächst nach y aufgelößt: y= -bx/a + b

-> was hat jetzt c mit dieser gleichung zu tun? hier kommt doch garkein c vor?!?

______________________

bei aufg.4 muss doch b ungleich 0 sein oder lieg ich da falsch?

BjBot aktiv_icon

19:50 Uhr, 09.11.2010

"kann man dann auf die frage der geometrischen bedeutung antworten, dass a und

b

einfluss nehmen auf die lage der schnittpunkte mit der jeweiligen achse."

Das tun sie ja eh immer. Entscheidend ist, dass für den Fall

c = 1

automatisch die Kehrwerte, also

\frac{1}{a}

und

\frac{1}{b}

zu den entsprechenden Achsenabschnitten werden.
Beispielsweise kann ich wenn ich

3 x - \frac{1}{2} y = 1

als Geradengleichung habe direkt sagen, dass meine Achsenschnittpunkt

(\frac{1}{3} | 0)

und

(0 | - 2)

lauten.

"was hat jetzt

c

mit dieser gleichung zu tun? hier kommt doch garkein

c

vor?!?"

Eigentlich gar nichts, du hast doch für

c

schon 1 eingesetzt, deswegen steht rechts ja die 1.

"bei aufg.4 muss doch

b

ungleich 0 sein oder lieg ich da falsch?"

Bis auf einen Spezialfall ja. Denn wenn tatsächlich auch

b = 0

wäre dann hätten wir

0 \cdot x + 0 \cdot y = c

und das ist nur dann eine wahre Aussage wenn

c = 0

gilt.
Aber

0 = 0

würde dann auch keine Gerade mehr darstellen, sondern alle Punkte des Zweidimensionalen.

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