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Geradengleichung im Dreiecks + Schnittpunkt

Schüler Gymnasiale Oberstufe, 13. Klassenstufe

Tags: im Raum, Schnittpunkt, Vektoren, Vorzeichenfehler

MrPotter aktiv_icon

18:32 Uhr, 15.10.2008

Ich habe beim Aufstellen einer Geradengleichung eines Punktes mit der Seitenhalbierende des Dreiecks ABC einen Vorzeichenfehler in einer Vektorkomponente gemacht - weiß aber nicht wo und wieso.

Gegeben: Dreieck ABC mit A(4|0|0), B(0|2|0), C(0|0|3)
Gesucht: Geradengleichung von Punkt C mit der Seitenhalbierenden von AB.
Seitenhalbierende AB =

\frac{1}{2}

(Vektor b - Vektor a) =

\frac{1}{2}

(-4,2,0) = (-2,1,0)
g1: Vektor x = (0,0,3) + r(-2,1,-3)

Da muss aber für den Richtungsvektor (2,1,-3) als Lösung herauskommen. Nur warum? Und wo ist mein Fehler?

Edit: Wie ich Vorzeichen liebe ;-) Hab den Fehler gefunden^^
Edit2: Also echt. Jetzt zweifel ich fast anmir selbst! Bei der Seitenhalbierende BC wieder derselbe Mist! Jedoch sind diesmal wirklich alle Vorzeichen korrekt, oder?!!

Seitenhalbierende BC =

\frac{1}{2}

(Vektor c - Vektor b) =

\frac{1}{2}

(0,-2,3) = (0,-1,1.5)

g2: Vektor x = (4,0,0) + s(-4,-1,1.5)
Der richtige Richtungsvektor lautet jedoch (-4,1,1.5) ??

2. Frage:
Um noch ein wenig Sinnvolles zu fragen: wenn der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden des Dreiecks ABC gesucht ist, wieso reichen dafür nur die oben genannten Geradengleichungen (das sagt nämlich unkommentiert mein Löser...)?

MrPotter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

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xx1943 aktiv_icon

09:05 Uhr, 18.10.2008

1) Das ist kein Vorzeichenfehler sondern die falsche Formel.
Du musst den Mittelpunkt $M_{c}$ der Strecke [AB] suchen:
$\vec{m_{c}} = \frac{1}{2} (\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2} ((\begin{matrix} \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} \begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix})$

Nun musst die die Gerade durch C und diesen Mittelpunkt legen:
Für den Richtungsvektor der Geraden gilt: $\vec{u} = \vec{C M_{c}} = \vec{m_{c}} - \vec{c} = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix} \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix} \\ - 3 \end{matrix})$

2) Wenn sich drei Gerdaen in einem Punkt schneiden (wie die Seitenhalbierenden im Dreieck im Schwerpunkt), dann genügt es, zwei dieser Geraden zum Schnitt zu bringen, um den punkt zu bestimmen.

MrPotter aktiv_icon

14:25 Uhr, 19.10.2008

Ohje! Na klar! Das ist mir überhaupt nicht aufgefallen... Vielen Dank für deine Antwort und deine Unterstützung :-)

MrPotter

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