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Gleichung - 3 Punkte auf einer Gerade, wie berechn

Schüler Gesamtschule,

Tags: Funktion, Geradengleichung, Gleichungen

anonymous

21:12 Uhr, 04.09.2015

Liebe Community,
ich stehe mal wieder auf dem Schlauch und wäre euch total dankbar, wenn ihr mir helfen würdet.
Ich muss folgende Aufgabe lösen und weiß nicht wie.

Prüfe rechnerisch, ob die Punkte auf einer Geraden liegen, wenn ja dann bestimme die Geradengleichung.

A (- 4 I 1), B (3 I 4,5), C (- 2 I 2)

Wie kann ich bestimmen, ob die Punkte auf einer Geraden liegen, rechnerisch, zeichnerisch könnte ich das aber rechnerisch weiß ich nicht.

Würde mich über eure Antworten sehr freuen.
LG
Karina

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Geraden im Raum

rundblick aktiv_icon

21:19 Uhr, 04.09.2015

.
Frage:
kannst du eine Geradengleichung aufschreiben
für eine Gerade die nur mal durch die zwei Punkte A und

C

geht ?

\to

anonymous

21:36 Uhr, 04.09.2015

Ich würde dann erst einmal die Steigung berechnen, indem ich die Formel

\frac{y 2 - y 1}{X 2 - X 1}

anwende.
Für die Punkte A und

C

ergibt das dann

2 - \frac{1}{- 2} - (- 4) = \frac{1}{2}

Die Steigung ist also

\frac{1}{2}

Für die Erstellung der Funktionsgleichung bräuchte ich dann jetzt den Schnittpunkt mit der y-Achse
hierfür setze ich dann jetzt in die Gleichung ein:

f (x) = \frac{1}{2} \cdot x + b

bzw. jetzt komme ich nicht weiter ?

rundblick aktiv_icon

21:40 Uhr, 04.09.2015

y = \frac{1}{2} x + b

.. ist schon mal richtig.

wie könntest du nun das

b

finden, wenn du weisst, dass die Koordinaten
von Punkt A (oder die vom Punkt

C)

die Gleichung erfüllen ?

\to

anonymous

21:45 Uhr, 04.09.2015

dann könnte ich vielleicht

b = 0

setzen und einen Punkt A oder

C

einsetzen.

Ich setze jetzt Punkt A ein:

Y = \frac{1}{2} X + b

1 = \frac{1}{2} \cdot (- 4) + 0

1 = - 2

???

sorry, irgendwie komme ich hier nicht weiter???

anonymous

21:45 Uhr, 04.09.2015

dann könnte ich vielleicht

b = 0

setzen und einen Punkt A oder

C

einsetzen.

Ich setze jetzt Punkt A ein:

Y = \frac{1}{2} X + b

1 = \frac{1}{2} \cdot (- 4) + 0

1 = - 2

???

sorry, irgendwie komme ich hier nicht weiter???

rundblick aktiv_icon

21:52 Uhr, 04.09.2015

.
"dann könnte ich vielleicht

b = 0

setzen.."

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. NEIN

y = \frac{1}{2} x + b

du sollst doch nicht für

b

irgendwas einsetzen

sondern

b

BERECHNEN .. wenn du weisst, dass der Punkt

A (- 4 | 1)

auf der Geraden liegt
(dh

\to x = - 4

und

y = 1

einsetzen und schauen, was sich dann für

b

ergibt)

\to

anonymous

21:57 Uhr, 04.09.2015

Ok,

1 = \frac{1}{2} \cdot (- 4) + b

1 = - 2 + b

- 1 = b

Ja, damit habe ich dann berechnet, dass die Gerade die Y-Achse bei

- 1

schneidet,
weil der Schnittpunkt mit der y-Achse

= X = 0

ist,

ist die Koordinate, an der die y-Achse geschnitten wird, ich nenne den Punkt jetzt einfach mal

D (\frac{0}{- 1})

Hoffe, das ist so richtig?

anonymous

21:59 Uhr, 04.09.2015

Ergänzung. die Autoumwandlung hat meinen Punkt

D

verändert, er soll natürlich so heißen

D (0 I - 1)

anonymous

21:59 Uhr, 04.09.2015

Ergänzung. die Autoumwandlung hat meinen Punkt

D

verändert, er soll natürlich so heißen

D (0 I - 1)

rundblick aktiv_icon

22:03 Uhr, 04.09.2015

.
"
1=−2+b

. .

. JA
−1=b

: : : :

NEIN

rechne das nochmal !

\Rightarrow b =

?
.

anonymous

22:07 Uhr, 04.09.2015

Oh, je, hab mich mit dem Vorzeichen vertan

b = 3

natürlich

anonymous

22:08 Uhr, 04.09.2015

Also Punkt

D

ist damit

(0 I 3)

rundblick aktiv_icon

22:14 Uhr, 04.09.2015

.
ok -

du hast jetzt mit

\to y = \frac{1}{2} x + 3

die Gleichung der Geraden durch A und

C

\to

wie kannst du nun herausfinden, ob der Punkt

B (3 | 4,5)

nun

\to

auf - oder

\to

nicht auf - dieser Geraden liegt?

.

anonymous

22:21 Uhr, 04.09.2015

Indem ich die Punkte einsetze und schaue, ob ein richtiges Ergebnis herauskommt:

Y =

X + 3

ich setze Punkt

B

ein

4,5 = \frac{1}{2} \cdot 3 + 3

4,5 = 4,5

ja, also der Punkt

B

liegt auf der Gerade.

Also der Weg allgemein, um solche Aufgaben zu lösen wie folgt:

1. ich berechne die Steigung
2. ich bestimme und damit die Funktionsgleichung
3. ich probiere aus, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem ich den dritten Punkt einsetze

Gibt es noch einen anderen Weg, oder ist das der beste Weg?

Vielen Dank für die große Mühe und die tolle Hilfe

rundblick aktiv_icon

22:28 Uhr, 04.09.2015

.
Ja

\to

"Also der Weg allgemein, um solche Aufgaben zu lösen wie folgt:"

\to

zwei Punkte legen immer eine Gerade fest

\to

bestimme deren Gleichung

\to

überprüfe, ob der dritte Punkt diese Gleichung erfüllt (oder nicht erfüllt)

ok..

Ma-Ma aktiv_icon

22:30 Uhr, 04.09.2015

Moment bitte, ich möchte auch noch ein paar Zeilen dazu schreiben

. .

anonymous

22:31 Uhr, 04.09.2015

Super, danke, dank deiner Hilfe kann sogar ich Mathe lernen, vielen Dank, du bist ein super Lehrer

anonymous

22:31 Uhr, 04.09.2015

Super, danke, dank deiner Hilfe kann sogar ich Mathe lernen, vielen Dank, du bist ein super Lehrer

anonymous

22:35 Uhr, 04.09.2015

Indem ich die Punkte einsetze und schaue, ob ein richtiges Ergebnis herauskommt:

Y =

X + 3

ich setze Punkt

B

ein

4,5 = \frac{1}{2} \cdot 3 + 3

4,5 = 4,5

ja, also der Punkt

B

Ma-Ma aktiv_icon

22:36 Uhr, 04.09.2015

Für diesen ganz besonderen Fall:

a)

Prüfe rechnerisch, ob die Punkte auf einer Geraden liegen,

b)

wenn ja dann bestimme die Geradengleichung.

Bei dieser Fragestellung soll wohl

a)

zuerst gelöst werden.
Hier könnte man die Steigungen zwischen A und

B,

zwischen A und

C

und zwischen

B

und

C

prüfen.
Sind alle Steigungen gleich, dann müssen die Punkte auf einer Geraden liegen.
(Nachtrag: Das Berechnen von 2 Steigungen reicht auch schon aus.)

Zu

b)

dann genauso, wie Du es mit rundblick erarbeitet hast.

LG Ma-Ma

- - - - - - - - - - -

Punkte schreiben: Nutze den senkrechten Strich neben dem "<"-Zeichen.
Sieht dann so aus

Z (3 | 4)

anonymous

22:46 Uhr, 04.09.2015

Hallo, vielen Dank, dass du auch noch antwortest, nur noch einmal zur Sicherheit, ich könnte also auch für alle 3 genannten die Steigungen berechnen, das würde reichen?

und ich frage mich gerade, was würde passieren, wenn die beiden, die ich zuerst auswähle zur Bestimmung der Steigung in Wirklichkeit nicht auf einer Gerade liegen?

anonymous

22:46 Uhr, 04.09.2015

anonymous

22:48 Uhr, 04.09.2015

Was würde denn passieren, wenn A und

C,

die ich ursprünglich benutzt habe zur Erstellung der Geradengleichung, in Wirklichkeit nicht auf einer Geraden liegen?

rundblick aktiv_icon

22:50 Uhr, 04.09.2015

.
" Hier könnte man die Steigungen zwischen A und

B,

zwischen A und

C

und zwischen

B

und

C

prüfen.
Sind alle Steigungen gleich, dann müssen die Punkte auf einer Geraden liegen."

\to

JA - und damit auch Ma-Ma noch etwas dazulernt :

\to

es genügt schon, zwei der drei "Steigungen" zu ermitteln
zB zwischen A und

B

und zwischen A und

C

(warum wohl?)

@Bob111 :
"Was würde denn passieren, wenn A und

C . .

. nicht auf einer Geraden liegen? "

\to

das kann NICHT passieren, da zwei voneinander verschiedene Punkte IMMER genau
eine Gerade festlegen .. (mach dir das mal klar )

.

Ma-Ma aktiv_icon

22:56 Uhr, 04.09.2015

@Bob: Mache Dir doch mal zwei kleinen Skizzen mit drei Punkten

. .

anonymous

22:35 Uhr, 14.09.2015

Danke

anonymous

22:35 Uhr, 14.09.2015

Danke

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