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Gleichung von Umkreis bestimmen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Dreieck, Trägergeraden, Umkreis

Ahine aktiv_icon

11:55 Uhr, 17.12.2011

Ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:

"Von einem Dreieck kennt man die Gleichungen der Trägergeraden der Dreiecksseiten. Bestimme die Gleichung des Inkreises und des Umkreises."

a : 3 x - 4 y = 0

b : 3 x + 4 y = 60

c : 8 x - 6 y = 105

Ich habe diese Frage schon einmal (nur mit dem Umkreis) gestellt und auch die richtige Gleichung erhalten, indem ich

A, B

und

C

ausrechnete und die Punkte in die Koordinatenform einsetzte und so als Kreis durch

A, B

und

C

die Kreisgleichung aufstellte.

A (15,6 | 3,3)

B (30 | 22,5)

C (10 | 7,5)

Den Umkreis kann man also als Kreis durch

A, B

und

C

ermitteln, aber auch mithilfe zweier Mittelsenkrechten durch die Ecken des Dreiecks

-

in meinem Buch steht aber auch " mithilfe zweier Seitensymetralen" - das funktionierte aber nicht siehe
http://www.onlinemathe.de/forum/Gleichung-von-Umkreis-bestimmen

Ist Seitensymetrale eigentlich ein Synonym zu Mittelsenkrechte, in meinem Buch steht nicht, wie man die Gleichung einer Mittelsenkrechte aufstellt.

Ich hätte die Gleichung einer Seitensymetrale so aufgestellt:

H_{A \cdot B} + \vec{H_{A \cdot B}, C}

-das ist aber vermutlich falsch.

Die Mittelsenkrechte ist von

\vec{A B}

würde ich aber auch so aufstellen: als Normale zu

\vec{A B}

und zwar ausgehend von

H_{A \cdot B}

Im Lösungsheft ist ein interessanter, einfacher Lösungsweg, allerdings zu einer anderen Aufgabe angegeben, den ich nun analog mit den in diesem Beispiel angegebenen Zahlen, nachverfolgen werde:

H_{A} \cdot B : (22,8 | 12,9)

H_{A} \cdot C (12,8 | 5,4)

= B - A = (14,4 | 19,2)

kürzen zu

(4 | 3) 4 x + 3 y =

nun Punkt

H_{A} \cdot B

einsetzen

= 129,9

= C - A = (- 5,6 | 4,2)

kürzen zu

(- 3 | 4) - 3 x + 4 y =

nun Punkt

H_{A} \cdot C

einsetzen

= - 16,8

also:

4 x + 3 y = 129,9 | \cdot 4

- 3 x + 4 y = - 16,8 | \cdot - 3

16 x + 12 y = 519,6

9 x - 12 y = 50,4 |

addieren

= 25 x = 570

x = 22,8

Das Ergebnis ist aber falsch!! Edit: es ist aber sehr nahe dran,

x_{M} = 20

Woran liegt das?

Nun zum Inkreis:
Der Inkreis ist der Kreis um den Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden.
Wie berechne ich die Winkelhalbierenden?

Ich glaube, man muss die Einheitsvektoren suchen.
von vec(A,B):(14,4|19,2)kürzen zu

(4 | 3) = (\frac{4}{5} | \frac{3}{5})

von

\vec{}

= C - A = (- 5,6 | 4,2)

kürzen zu

(- 3 | 4) = (- \frac{3}{5} | \frac{4}{5})

Kann ich jetzt die Parameterdarstellung

A + t \cdot (- \frac{3}{5} | \frac{4}{5})

und

A + t \cdot (\frac{4}{5} | \frac{3}{5})

verwenden und dann einen Schnittpunkt erzielen?

Vielen Dank für eine Antwort.
Karin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Thaleskreis, Umkreis, Inkreis und Lage von Kreis und Gerade
Winkelsumme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DerAlbert aktiv_icon

14:57 Uhr, 13.12.2011

bei deiner Berechnung von Punkt C ist dir ein Fehler unterlaufen.
Will das alles nicht selber nochmal durchrechnen, aber ich denke das da dein Fehler liegt.
Achte auch noch auf deine Vorzeichensetzung bei den anderen Punkten. Richtig gerechnet, aber leider falsch aufgeschrieben.

kleiner Tipp:

\frac{60}{8} \neq 10

Ahine aktiv_icon

15:44 Uhr, 13.12.2011

Danke für den hilfreichen Tipp.
Es gelang schon, etwas Licht in die Sache zu bringen, denn nun ist

H_{B \cdot C} (20 | 15)

also ganze Zahlen!
Bei

C

habe ich statt

x = 10

und

y = 7,5

y = 10

und

x = 7,5

geschrieben.
Oben habe ich außerdem geschrieben:

a \in c : x = - \frac{4 \cdot y}{3},

es heißt aber

a \in c : x = \frac{4 \cdot y}{3}

Bei Punkt A habe ich keinen Fehler finden können.
Wahrscheinlich ist aber trotzdem noch irgendwo ein Fehler.
Ich habe bei meiner ersten Frage alles korrigiert.
Karin

Ahine aktiv_icon

15:44 Uhr, 13.12.2011

Danke für den hilfreichen Tipp.
Es gelang schon, etwas Licht in die Sache zu bringen, denn nun ist

H_{B \cdot C} (20 | 15)

also ganze Zahlen!
Bei

C

habe ich statt

x = 10

und

y = 7,5

y = 10

und

x = 7,5

geschrieben.
Oben habe ich außerdem geschrieben:

a \in c : x = - \frac{4 \cdot y}{3},

es heißt aber

a \in c : x = \frac{4 \cdot y}{3}

Bei Punkt A habe ich keinen Fehler finden können.
Wahrscheinlich ist aber trotzdem noch irgendwo ein Fehler.
Ich habe bei meiner ersten Frage alles korrigiert.
Karin

Ahine aktiv_icon

15:44 Uhr, 13.12.2011

Wenn nämlich

H_{B \cdot C}

ganze Zahlen sind, dann auch

H_{A \cdot B},

meiner Meinung nach.
Karin

DerAlbert aktiv_icon

16:15 Uhr, 13.12.2011

hm ok.
das einzige was ich mir jetzt noch vorstellen kann, da ich deinen rechenweg ja nicht genau kenne, dass der fehler in deiner letzten parametergleichung ist. schaue da mal nach.

und wer sagt, dass wenn ein wert ganzzahlig ist, das der andere das auch ist. die muss leider nicht sein.

Ahine aktiv_icon

16:33 Uhr, 13.12.2011

Ich habe nochmals nachgerechnet und auch wieder

t = \frac{2}{3}

erhalten.
Ich bitte um Hilfe!!!!!
Danke im Voraus.
Karin

Ahine aktiv_icon

13:37 Uhr, 15.12.2011

Bitte helft mir!!!

Karin

Atlantik aktiv_icon

13:50 Uhr, 15.12.2011

Das Dreieck

A B C

ist rechtwinklig. Also ist der Umkreis auch der Thaleskreis über der Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.

mfG

Atlantik

Ahine aktiv_icon

14:08 Uhr, 15.12.2011

Wie hast Du das herausgefunden?
Weil

a : 3 x + 4 y = 0

und

b : 3 x - 4 y = 60

ist?
Heißt das

\frac{c}{2} = r

und

H_{A \cdot B}

ist M?? Das stimmt aber nicht!
Karin

Paulus

14:24 Uhr, 15.12.2011

Hallo Ahine

leider bin ich erst jetzt dazu gekommen.

Du hast nur folgenden Fehler gemacht: deine Paramatergleichung berechnet zwei Schwerelinien des Dreiecks, deshalb bekommst du den Schwerpunkt des Dreieckes und nicht den Umkreismittelpunkt.

Du solltest also von deinem berechneten H_AB eine senktecht zu AB stehende Gerade nehmen und ebenfalls von H_BC eine Senkrechte zu BC. Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden ist der Umkreismittelpunkt.

Ansonsten waren Dein Berechnungen allesamt korrekt.

Gruss

Paul

Atlantik aktiv_icon

16:53 Uhr, 15.12.2011

Gerade

b : 3 x + 4 y = 60

4 y = 60 - 3 x

y = 15 - \frac{3}{4} x

Gerade

c : 8 x - 6 y = 105

8 x - 6 y = 105

8 x - 105 = 6 y

y = \frac{8}{6} x - \frac{105}{6}

y = \frac{4}{3} x - \frac{105}{6}

m_{1} = - \frac{3}{4}

m_{2} = \frac{4}{3}

Die Geraden stehen senkrecht aufeinander.

mfG

Atlantik

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Ahine aktiv_icon

13:31 Uhr, 16.12.2011

Ich habe die Rechnung auch noch mal gerechnet und zwar als Kreis durch

A, B

und

C

und auch die richtige Lösung erhalten.
@ paulus: Danke für die Antwort. Die Senkrechte zu

H_{A \cdot B}

wäre

\vec{H_{A \cdot B} C}

meiner Meinung nach und wie ich die Senkrechte zu

H_{B \cdot C}

berechnen soll ist mir ein Rätsel.
@atlantik: Theoretisch müsste aber dann wirklich

H_{A \cdot B}

der Mittelpunkt sein, oder? und

\frac{c}{2}

muss der Radius sein, weil das Dreieck rechtwinklig ist. Zeichne ich mir ein x-beliebiges rechtwinkliges Dreieck auf, komme ich jedenfalls auf dieses Ergebnis. Danke für den Beitrag!
Die Lösung laut Lösungsheft:

{(x - 15)}^{2} + {(y - 7,5)}^{2} = 9

bzw.

{(x - 20)}^{2} + {(y - 15)}^{2} = \frac{625}{4}

@ atlantik:

\frac{c}{2}

wäre

12,

und

H_{A \cdot B}

entspricht auch nicht dem Mittelpunkt. Ich kann Deinen Lösungsvorschlag zwar sehr gut verstehen und nachvollziehen, aber die Ausführung von meiner Interpretation her erscheint mir nicht korrekt.
Wie oben angeführt habe ich mit einer andereren Methode das Ergebnise errechnet.
Karin

Ahine aktiv_icon

13:43 Uhr, 16.12.2011

Ich bedanke mich bei allen Beteiligten.

Karin

Atlantik aktiv_icon

16:40 Uhr, 16.12.2011

In deinem Lösungsheft sind 2 Kreise aufgeschrieben.

k_{1}

ist der Inkreis und

k_{2}

der Umkreis des Dreiecks

Den Inkreis erhält man, wenn man die Winkelhalbierenden zum Schnitt bringt.

Während der Umkreismittelpunkt aus dem Schnitt der Mittelsenkrechten hervorgeht.

Der Radius des Umkreises ist

\frac{a}{2}

.

mfG

Atlantik

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Ahine aktiv_icon

16:51 Uhr, 16.12.2011

Aus deiner Zeichnung wird ersichtlich, dass a die längste Seite ist! Also ist a die Hypotenuse und Hypotenuse/2 ist

r,

also

\frac{a}{2}

Danke für die Antwort.
Karin

953037

951823

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