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Gleichungen der Wendetangente berechnen

Schüler

Tags: Fläche, Gleichungen, Wendetangente

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11:00 Uhr, 15.05.2018

Hallo,

und noch ein Problem, bei dem ich nicht weiter weiß:

Gegeben ist die Funktion:

f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 5

mit dem dazugehörigen Schaubild Kf.

Nun soll folgendes bestimmt werden:

a)

die Gleichungen der Wendetangenten an Kf.

b)

die Fläche berechnen.

Mein Vorschlag als erstes: nach

x

auflösen.

Danke für eure Unterstützung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

11:04 Uhr, 15.05.2018

\to

"b) die Fläche berechnen. "
Welche Fläche ?

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11:14 Uhr, 15.05.2018

Sorry, ich sollte schon die komplette Frage wiedergeben:

Also bei

b)

steht: Markiere die Fläche, die Kf mit den Wendetangenten einschließt und berechne diese Fläche.

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11:24 Uhr, 15.05.2018

Wendetangente;

y = (x - x_{w}) \cdot f' (x_{w}) + f (x_{w})

x_{w} =

Wendestelle

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13:41 Uhr, 15.05.2018

Okay, zunächst einmal brauche ich doch den Wendepunkt, damit ich die Tangente bestimmen kann.

Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt:

f'' (x) = 0

und

F''' (x)

ungleich 0

Also brauche ich erstmal die 2. Ableitung:

1 .) f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x

2 .) f'' (x) = - 12 x^{2} + 12

Dann müsste ich rechnen

f'' (x) = 0

- 12 x^{2} + 12 = 0

x^{2} = 1

x = 1

Dann die 3. Ableitung berechnen:

f''' (x) = - 24 x

Dann den Wert einsetzen:

- 24 x 1 = - 24,

damit ungleich 0 und somit müsste an der Stelle

x = 1

ein Wendepunkt vorliegen.

Jetzt noch den x-Wert in die Funktion

f (x)

einsetzen um den y-Wert zu bekommen.

Y = f (1) = - 1^{4} + 6 \cdot 1^{2} - 5 = 2

Damit wäre nach meiner Rechnung der Wendepunkt bei

(\frac{1}{2})

.

Ist das bisher so richtig ?

Denn nun muss ich ja noch die Wendetangente bestimmen.

Danke!

Roman-22

17:09 Uhr, 15.05.2018

>

Ist das bisher so richtig ?
Nicht ganz!
Zwei Fehler:

1)

Aus

x^{2} = 1

folgt

x = \pm 1

. Es gibt also zwei Wendestellen

2)

Bei der Berechnung von

f (1)

schreibst du

f (1) = - 1^{4} + ...,

rechnest aber, als ob da

f (1) = {(- 1)}^{4} + . .

. stehen würde. Die Klammer macht den großen Unterschied:

- 1^{4} = - 1,

aber

{(- 1)}^{4} = + 1

. Richtig ist

f (1) = 0

.
Die beiden Wendepunkte sind also

W_{1} (1 / 0)

und

W_{2} (- 1 / 0)

.

Da es sich bei

f (x)

um eine gerade Funktion handelt ist sie symmetrisch bzgl der Ordinatenachse und somit reicht es zB für die verlangte Flächenberechnung aus, nur den rechten Teil von 0 bis 1 zu behandeln und das Ergebnis dann zu verdoppeln.
Zu deiner Kontrolle:

A = \frac{8}{5}

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07:59 Uhr, 16.05.2018

Guten Morgen,

erstmal vielen Dank!

Nun muss ich aber noch

m

berechnen und die Gleichungen angeben.

Es gibt aber doch dann

2 m' s,

weil ich ja

x 1

und

x 2

habe ?!

x 1

eingesetzt in die erste Ableitung ergibt 8.

x 2

eingesetzt in die erste Ableitung ergibt

- 8

.

Dann die beiden Gleichungen:

Y 1 = 8 \cdot (x - 1) + 0 - \to Y 1 = 8 x - 8

Y 2 = - 8 (x - 1) + 0 - \to Y 2 = - 8 x + 8

.

Passt das so ?

Jetzt noch den

b)

Teil: Flächenberechnung.

Bitte hierzu kurzen Anstoß wie ich anfangen muss das Ganze aufzuschreiben.

Vielen Dank!

Respon

08:08 Uhr, 16.05.2018

Überprüfe deine zweite Tangentengleichung.

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08:23 Uhr, 16.05.2018

Also

Y 2

müsste korrekt lauten:

Y 2 = - 8 (x + 1) + 0 - \to Y 2 = - 8 x - 8

Jetzt müsste es stimmen, oder ?

Respon

08:29 Uhr, 16.05.2018

Korrekt.
Verwende aber nicht die Schreibweise

Y 1

bzw.

Y 2!

Hinweis von Roman bezüglich Symmetrie beachten und vorerst das Integral zwischen den Funktionen im Intervall

[0; 1]

berechnen

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11:40 Uhr, 16.05.2018

Okay, da Integral geht von 0 bis 1.

Die Funktion lautet dann:

F (x) = - \frac{1}{5} \cdot x^{5} + 2 \cdot x^{3} - 5 \cdot x

dann

X = 1

einsetzen ergibt

- \frac{16}{5}

wegen der Symmetrie

\cdot 2

ergibt

- \frac{32}{5}

Jetzt stört mich nur noch der negative Flächeninhalt.

Wo ist mein Rechenfehler ?

Danke.

Enano

13:04 Uhr, 16.05.2018

"Wo ist mein Rechenfehler ?"

Du hast keinen Rechenfehler gemacht, sondern die falsche Fläche berechnet.

Warum stellst du die Tangentengleichung(en) auf, wenn du sie gar nicht brauchst?

ledum aktiv_icon

13:10 Uhr, 16.05.2018

Hallo
du sollst doch die Fläche zwischen Wendetangente und Graph bestimmen.
das hat nichts mit der Symmetrie zu tun, aisser dass die 2 Flächen die zwischen der einen und der anderen Wendetangente entstehen gleich sind, du musst also nur die zwischen der rechten Wendetangente und dem graphen bestimmen. Dazu zuerst den 2 ten Schnittpunkt der Tangente bestimmen

(x = - 3)

und dann

f (x) - t (x)

von

- 3

bis 1 integrieren. Hast du die skizze gemacht und die Fläche markiert, dann wäre dir der Fehler aufgefallen . wenn die Fläche zwischen den beiden Wendetangenten gemeint ist, musst du nur von

- 3

bis 0 integrieren und dann verdoppeln.
aber mach zuerst die Zeichnung, oder lass es dir plotten. steht in der aufgabe Wendetangente oder Wendetangenten?
Gruß ledum

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13:27 Uhr, 16.05.2018

Hallo,

die Frage lautet korrekt: Berechne die Gleichungen der Wendetangenten an Kf und zeichne sie ein.

Und dann noch die Fläche berechnen, die Kf mit den Wendetangenten einschließt.

Was fehlt mir denn noch ? Ich steh auf dem Schlauch.

Die Wendetangente 1 verläuft doch über den Wendepunkt

1,0

und die Wendetangente 2 über

- 1,0

.

Also graphisch doch eine Gerade oder nicht ?

Roman-22

13:39 Uhr, 16.05.2018

>

Also graphisch doch eine Gerade oder nicht ?

Nein! Zwei Geraden, wenn du den Tipp mit der Symmetrie nicht beachten möchtest. Das musst du auch nicht unbedingt, aber wenn man sich 0 als Integralgrenze einfangen kann, dann ist das meist ein rechentechnischer Vorteil - daher mein Vorschlag, die Symmetrie zu nutzen.

Warum greifts du nicht endlich den Vorschlag auf, dir den Graphen plotten zu lassen bzw. machst dir selbst rasch eine Skizze von der Sitution für

x \in [- 1; 1]

. Das geht doch recht flott und verschafft dir Übersicht.

Was du mit

- \frac{32}{5}

berechnet hast, ist die in meiner Zeichnung rot gefärbte Fläche. Da das bestimmte Integral als orientierter Flächeninhalt interpretiert werden kann, kommt, weil es sich um eine Fläche unterhalb der Abszissenachse handelt, ein negativer Wert heraus. Da es in deiner Aufgabe nicht um die orientoerung geht, kannst du bedenkenlos von jedem best. Integral den Betrag nehmen.
Wie du an der Zeichnung siehst, ist nicht der rote, sondern der grüne Flächeninhalt gesucht und den bekommst du, indem du deine rote Fläche

(\frac{32}{5})

von der blauen Fläche subtrahierst. Die blaue Fläche kannst du natürlich auch mithilfe der Integralrechnung unter Verwendung deiner Wendetangentengleichungen ermitteln, einfacher erhältst du den Flächeninhalt 8 dieses Dreiecks aber durch simples kurzes Hinsehen.

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13:57 Uhr, 16.05.2018

Hallo nochmal,

habe mir das jetzt skizziert, aber wie kann ich die Fläche mit meinen beiden Tagentengleichungen berechnen?

Ich habe ja einmal

y = 8 x - 8

und einmal

y = - 8 x - 8

.

Steh völlig rechnerisch auf dem Schlauch. Grafisch ist mir das klar nun.

Roman-22

15:14 Uhr, 16.05.2018

Wie schon geschrieben: Die blaue Fläche ist die Fläche eines Dreiecks. Grundlinie 2 Einheiten, "Höhe" (hier eigentlich 'Tiefe') 8 Einheiten. Dass dieses Dreieck die Fläche

8 E i n h e i t e n^{2}

hat sollte dir klar sein.

Wenn du sie unbedingt mit der Integralrechnung berechnen möchtest und auch die Symmetrie nicht ausnutzen möchtest, dann musst du dir dir Fläche mit zwei Integralen berechnen. Einmal für

- 8 x - 8

von

- 1

bis 0 und zusätzlich für

+ 8 x - 8

von 0 bis 1.
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