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Globale Extrema von f auf dem Rechteck D

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Globale Extrema, Lokale Extrema, mehrdimensionale Analysis

Dobby-Fanbase aktiv_icon

10:59 Uhr, 06.01.2018

Hallo Community,

ich habe mal wieder eine Frage bezüglich der mehrdimensionalen Analysis. Folgende Aufgabe bereitet mir momentan Kopfzerbrechen:

Es sei

f : ℝ^{2} \to ℝ

eine Funktion mit

f (x_{1}, x_{2}) = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} - 3 x_{1} x_{2}

. Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extrema von

f

auf dem Rechteck

D = {[0,3]}^{2}

.

Mehrdimensionale Extremstellen berechnet man ja mit dem Algorithmus:
1. Bilde Gradienten
2. kritische Stellen berechnen (Nullstellen)
3. Hesse-Matrix aufstellen
4. Kritische Stellen in die Hesse-Matrix einsetzen und Definitheit bestimmen.

Aber wie mache ich das auf dem Rechteck

D = {[0.3]}^{2}

?

Würde mich sehr über eure Hilfe freuen, da ich über lokale und globale Extrema auf einem Rechteck überhaupt nichts im Internet bzw. in diversen Skripts gefunden habe.

Gruß,
Dobby.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

11:42 Uhr, 06.01.2018

Du musst lokale Extrema innerhalb des offenen Rechtecks bestimmen und dann lokale Extrema auf den Rändern des Rechtecks (auf dem Rand gilt

x_{1} = 0

oder

x_{1} = 3

oder

x_{2} = 0

oder

x_{2} = 3

, je nach dem Rand). Auf den Rändern musst Du also

x_{1}

oder

x_{2}

durch einen festen Wert ersetzen und bekommst eine Funktion von nur einer Variable.
Und am Ende Extrempunkte vergleichen.

Dobby-Fanbase aktiv_icon

18:34 Uhr, 07.01.2018

Danke für die Antwort.

Ich werde mich dann einmal daran versuchen und später hier meinen Lösungsversuch posten :-).

Dobby-Fanbase aktiv_icon

23:41 Uhr, 08.01.2018

So...ich habe mich jetzt einmal daran versucht.

Ich habe

x_{1} := x

und

x_{2} := y

festgelegt, weil es für mich einfach übersichtlicher und einfacher beim rechnen ist. Ich hoffe das stört keinen.

1.)Also mein Gradient sieht folgendermaßen aus:
grad(f)

= (\begin{matrix} 3 x^{2} - 3 y \\ 3 y^{2} - 3 x \end{matrix})

2.)Die Nullstellen des Gradienten sind:

3 x^{2} - 3 y = 0 \to 3 x^{2} = 3 y \to x^{2} = y

einsetzen in die 2. Gleichung ergibt

3 y^{2} - 3 x = 0 \to 3 {(x^{2})}^{2} - 3 x = 0 \to 3 x^{4} - 3 x = 0 \to 3 x^{4} = 3 x \to x^{4} = x \to x^{3} = 1

Die kritischen Stellen wären also

: E_{1} = (0,0)

und

E_{2} = (1,1)

3.)Die Hesse-Matrix :

H_{f (x, y)} = (\begin{matrix} 6 x & - 3 \\ - 3 & 6 y \end{matrix})

4.)Kritische Stellen in die Hesse-Matrix einsetzen:

E_{1} (0,0) : H_{f (0,0)} = (\begin{matrix} 6 \cdot 0 & - 3 \\ - 3 & 6 \cdot 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & - 3 \\ - 3 & 0 \end{matrix})

EW von

H_{f (0,0)} = | \begin{matrix} 0 - λ & - 3 \\ - 3 & 0 - λ \end{matrix} | = λ^{2} - 9

λ^{2} - 9 = 0 \to λ^{2} = 9 \Rightarrow λ_{1} = 3

und

λ_{2} = - 3

.
Da hier ein EW positiv und ein EW negativ ist

\Rightarrow

Matrix indefinit und

E_{1}

ist ein Sattelpunkt.

E_{2} (1,1); H_{f (1,1)} = (\begin{matrix} 6 \cdot 1 & - 3 \\ - 3 & 6 \cdot 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 & - 3 \\ - 3 & 6 \end{matrix})

EW von

H_{f (1,1)} = | \begin{matrix} 6 - λ & - 3 \\ - 3 & 6 - λ \end{matrix} | = {(6 - λ)}^{2} - 9 = λ^{2} - 12 λ + 36 - 9 = λ^{2} - 12 λ + 25

.
mit der

p

,q-Formel folgt

: - (- \frac{12}{2}) \pm \sqrt{{(- \frac{12}{2})}^{2} - 25} = 6 \pm \sqrt{36 - 25} = 6 \pm \sqrt{9}

\Rightarrow λ_{1} = 6 + 3 = 9

und

λ_{2} = 6 - 3 = 3

.
Da beide EW

> 0

folgt, dass diese Matrix positiv semi definit ist

\Rightarrow E_{2}

ist ein Minimum oder Sattelpunkt.

Nun habe ich mal die Randpunkte betrachtet:
ich setze hier also die Werte

(0,0), (0,3), (3,0), (3,3)

in die Funktion

f (x, y) = x^{3} + y^{3} - 3 \cdot x \cdot y

ein und erhalte folgende Funktionswerte

f (0,0) = 0 + 0 - 3 \cdot 0 \cdot 0 = 0

f (0,3) = 0 + 27 - 3 \cdot 0 \cdot 3 = 27

f (3,0) = 27 + 0 - 3 \cdot 3 \cdot 0 = 27

f (3,3) = 27 + 27 - 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27

einsetzen der kritischen Stellen ergibt noch

f (1,1) = 1 + 1 - 3 \cdot 1 \cdot 1 = - 1

\Rightarrow

liegt das globale Minimum an der Stelle(1,1) und das globale Maximum an den Stellen

(0,3), (3,0), (3,3),

da diese den kleinsten bzw größten Funktionswert haben.

Ich hoffe, dass hier das meiste richtig ist. Hat etwas mit der Antwort gedauert, habe da echt ein wenig Zeit dafür gebraucht^^ .

Gruß,
Dobby.

ledum aktiv_icon

01:34 Uhr, 09.01.2018

Hallo
du hast nur die Eckpunkte angesehen, du hast aber als Rand

x = 0

und

x = 3

also

f (y) = y^{3}

und

f (y) = y^{3} + 27 - 9 y

davon wieder

max

und Min suchen, ebenso für den Rand

y = 0

und

y = 3

Gruß ledum

Dobby-Fanbase aktiv_icon

14:29 Uhr, 09.01.2018

ok...ich habe das jetzt mal versucht umzusetzen.

für den Rand

x = 0 \Rightarrow f (y) = y^{3}

. Hier habe ich dann nochmal die Randpunkte

y = 0

und

y = 3

eingesetzt. Also

f (0) = 0^{3} = 0

und

f (3) = 3^{3} = 27

x = 3 \Rightarrow f (y) = y^{3} + 27 - 9 y

und somit

f (0) = 0^{3} + 27 - 9 \cdot 0 = 27

und

f (3) = 3^{3} + 27 - 9 \cdot 3 = 27 + 27 - 27 = 27

y = 0 \Rightarrow f (x) = x^{3}

mit

f (0) = 0^{3} = 0

und

f (3) = 3^{3} = 27

y = 3 \Rightarrow f (x) = x^{3} + 27 - 9 x

mit

f (0) = 0^{3} + 27 - 9 \cdot 0 = 27

und

f (3) = 3^{3} + 27 - 9 \cdot 3 = 27 + 27 - 27 = 27

Ich muss hier aber etwas falsch gemacht haben oder? Hier kommt ja schließlich exakt das gleiche heraus wie oben bei meinem Punkt

4 .),

als ich die Randpunkte betrachtet habe und

(0,0), (0,3), (3,0), (3,3)

in die Funktion

f (x, y)

eingesetzt habe.

Kannst du mir da vielleicht helfen? Oder habe ich deine Antwort einfach total falsch verstanden?

Gruß,
Dobby

abakus

14:36 Uhr, 09.01.2018

f(x)=x³+27-9x besitzt ein lokales Extremum zwischen 0 und 3.
(Ableitung bilden, Null setzen,...)

Dobby-Fanbase aktiv_icon

15:41 Uhr, 09.01.2018

ich habe jetzt mal nur

f (x) = x^{3} + 27 - 9 x

abgeleitet, da

f (y) = y^{3} + 27 - 9 y

abgeleitet das gleiche ergibt, eben nur mit

y

an der Stelle von

x

f' (x) = 3 x^{2} + 0 - 9

das Null setzen ergibt

3 x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow 3 x^{2} = 9 \Rightarrow x^{2} = 3

und somit

x_{1} = - (\sqrt{3})

und

x_{2} = \sqrt{3}

x_{1}

und

x_{2}

eingesetzt in

f'' (x) = 6 x

ergibt :

f'' (\sqrt{3}) = 6 \cdot \sqrt{3} > 0 \Rightarrow

lokales Minimum

f'' ((- \sqrt{3})) = 6 \cdot (- \sqrt{3}) < 0 \Rightarrow

lokales Maximum

x_{1}, x_{2}

eingesetzt in

f (x) :

f ((- \sqrt{3})) = {(- \sqrt{3})}^{3} + 27 - 9 \cdot (- \sqrt{3}) = 27 + 6 \cdot \sqrt{3}

f (\sqrt{3}) = {\sqrt{3}}^{3} + 27 - 9 \sqrt{3} = 27 - 6 \sqrt{3}

somit wäre also das globale Maximum also bei

((- \sqrt{3}),3)

und bei

(3, (- \sqrt{3}))

(da das selbe ja auch für die Ableitung von

f (y)

gilt).

Das globale Minimum wäre dann immer noch an der Stelle

(1,1),

da dort ja immer noch der kleinste Funktionswert auftritt.

Hast du das gemeint gast?

Gruß,
Dobby.

abakus

18:33 Uhr, 09.01.2018

Hallo Dobby,
da ist kein globales Maximum, weil du in drei anderen Punkten mit 27 schon einen noch größeren Funktionswert hast.

(Es war aber trotzdem erforderlich, die Möglichkeit eines globalen Extrempunktes hier in Betracht zu ziehen. Er war halt nicht extrem genug, aber das weiß man erst hinterher.)

PS: Auf dem betrachteten Rand (x=3 bzw. y=3) hat man dort übrigens gar kein Maximum, sondern ain lokales Minumum.

Dobby-Fanbase aktiv_icon

19:00 Uhr, 09.01.2018

also sind

(0,3), (3,0), (3,3)

doch die globalen Maximas?

Ich habe

((- \sqrt{3}),3)

und

(3, (- \sqrt{3}))

als globale Extrema gesehen da bei ihnen ja der Funktionswert

27 + 6 \cdot \sqrt{3}

beträgt und das doch größer als

27

ist. Oder steh ich jetzt einfach auf dem Schlauch?

und wieso hat man auf dem Rand

(x = 3

bzw y=3)kein Maximum, sondern ein Minimum?

Stehe da glaub etwas auf dem Schlauch

Gruß,
Dobby

abakus

19:05 Uhr, 09.01.2018

Hallo,

- \sqrt{3}

liegt doch gar nicht im Definitionsbereich, der geht von 0 bis 3.
Es geht nur um die Möglichkeit

\sqrt{3}

, und dort hast du einen Wert von 27-..., also kleiner als 27.

Dobby-Fanbase aktiv_icon

11:19 Uhr, 10.01.2018

Achja...hab ich total vergessen. Dann ergibt das natürlich Sinn.

Besten Dank nochmal an jeden der mir geholfen hat. :-)

Gruß,
Dobby

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