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Gotisches Fenster

Schüler Kaufmännische mittlere u. höhere Schulen, 13. Klassenstufe

Tags: Fenster, Fläche, Gotisches

Bluna aktiv_icon

22:38 Uhr, 05.10.2009

Hallo alle zusammen :-)

Ich habe einige mathematische Beispiele zu lösen, hab aber leider weder eine Lösung noch einen Lösungsweg dazu. 2 Mathematiknachhilfelehrer

(!)

haben sich an diesem Beispiel schon die Zähne ausgebissen - nun würd ich hoffen, dass mir hier jemand helfen kann:

Ein gotisches Fenster hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Spitzbogen, der dadurch entsteht, dass man von je einer oberen Ecke des Rechtecks einen Kreisbogen zieht, dessen Radius gleich der Fensterbreite ist. Der Schnittpunkt der Kreisbögen ist die Spitze. Wie sind die Maße zu wählen, wenn bei einem Fensterumfang von

5 m

möglichst viel Licht einfallen soll? Wie groß ist die Fensterfläche?

Den einzigen Wert den ich habe ist der Umfang

U = 5 m

Über Tips oder Lösungen wäre ich sehr, sehr dankbar!!

Liebe Grüße, Sandra

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MBler07 aktiv_icon

23:24 Uhr, 05.10.2009

Hi

typische Extremwertaufgabe. Der Knackpunkt ist auf die Flächenberechnung des Fensters zu kommen. DAs Rechteck dürfte kein Problem sein. Sagen wir mal die kurze Seite ist a (und die Lange

b)

. Dann haben die Bögen den Radius

a

.
Die Höhe vom "Boden" der Bögen zum Schnittpunkt beträgt nach Pythagoras

h = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}}

. Somit hast du die Fläche eines Rechtecks mit aufgesetztem Dreiek.
Wobei du diese Höhe eigentlich gar nicht brauchst...

Es fehlen also nur noch die Kriessegmente außen. Für diese braichst du den abgedeckten Winkel, welchen du über die Trigonometrie bekommst.

z . B . :

φ = cos (\frac{\frac{a}{2}}{a})

Für die Fläche des Kreissegments gilt:

A = \frac{1}{2} r^{2} (φ - sin (φ))

Achte darauf im Bogenmaß (rad) zu rechnen!

Jetzt musst du das alles zusammensetzen und die Aufgabe weiterbearbeiten. Falls noch Fragen sind meld dich.

Grüße

anonymous

23:26 Uhr, 05.10.2009

Ich würde erstmal damit anfangen allgemein auszurechnen wie lang die beiden Kreisbögen sind, die dort oben entstehen, weil ich jetzt davon ausgehe, dass diese Längen bei dem Umfang von

5 m

mit eingerechnet werden.

Dadurch dass bei Kreisbögen den gleichen Radius haben entsteht dort oben ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge "r", daraus schlussfolgere ich, dass die 3 Winkel dieses Dreiecks jeweils 60° groß sind.
Die Länge eines Kreisbogens ist nun l=r*arc(60°), da wir diese Länge zweimal brauchen ist die Kreisbogenlänge 2*r*arc(60°) groß.
Wenn ich das richtig in Erinnerung habe war arc(60°)

= \frac{π}{3}

.

Der Umfang des Fensters beträgt also

u = 2 h + r + \cdot 2 \cdot r \cdot \frac{π}{3}

h

..Fensterhöhe

r

..Fensterbreite

Nun soll ermittelt werden bei welcher Höhe und Breite das meiste Licht einfällt - spricht, der Maximale Flächeninhalt wird gesucht.

A = r \cdot h + \frac{π}{3} \cdot r^{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^{2}

Nun stellen wir die Umfangsformel nach

h

um:

5 = 2 h + r + \cdot 2 \cdot r \cdot \frac{π}{3}

- 2 h = r + 2 \cdot r \cdot \frac{π}{3} - 5

h = \frac{5 - r - 2 r \cdot \frac{π}{3}}{2}

h = 2,5 - \frac{1}{2} \cdot r - \frac{π}{3} \cdot r

Das setzen wir in die Flächeninhaltsformel ein:

A = r \cdot (2,5 - \frac{1}{2} \cdot r - \frac{π}{3} \cdot r) + \frac{π}{3} \cdot r^{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot r^{2}

A = 2,5 r - \frac{1}{2} r^{2} - \frac{π}{3} r^{2} + \frac{π}{3} r^{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} r^{2}

A = (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}) r^{2} + 2,5 r

Das ganze jetzt nach der maximalstelle untersuchen und man erhält eine Fläche von ca.:

A = 1,6747 m^{2}

Ich gern wissen, ob mein Ergebnis auch das ist, was du gesucht hast.

Bluna aktiv_icon

19:43 Uhr, 07.10.2009

Hallo ihr beiden,

vielen Dank für die Beantwortung meiner Frage!! Das Rätsel ist gelöst :-) Ja, die Lösung mit den ~ 1,68m² stimmt!!! Jetzt muss ichs nur noch selber berechnen können, dann wäre mir schon geholfen!!!!

Ich glaub ihr werdet jetzt öfter mal von mir hören :-)

vlg, Sandra

Bluna aktiv_icon

20:16 Uhr, 07.10.2009

ok, ich habe jetzt versucht, das ganze zu berechnen...aber ich komm auf die maximalstelle nicht mich verwirrt das alles total und ich hab echt ein Problem mit dieser Aufgabe. Kannst du mir das bitte genauer erklären???

Das wär super!! Danke im Voraus...!

Bluna aktiv_icon

21:28 Uhr, 07.10.2009

Nevermind!!! I got it :-)))

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