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Grad einer Funktion erkennen am Graphen
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Funktion, Grad, Graph
 
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Hallo liebes Forum, ich habe mal wieder eine Fragen. Ich beschäftige mich momentan... . mit der Frage wie man anhand eines Graphen den zugehörigen Grad der Funktion erkennt. Nach recherchieren im Netz bin ich hier und da zu Informationen gekommen die Anhaltspunkte darüber geben. Dann heisst es zBsp eine Funktion 4. Grades hat maximal 4 oder weniger Nullstellen, maximal 3 oder weniger Extrempunkte und maximal 2 oder weniger Wendepunkte. Damit kann ich aber nicht mit Sicherheit sagen, wie der Grad lautet. Jetzt hab ich hin und her überlegt und bin schließlich zur folgenden Aussage gekommen. Wir erstellen den ersten Ableitungsgraphen. Immer wenn der Graph die xAchse schneidet zählen wir . (Extrempunkt) In dem Bereich in dem wir anfangen zu zählen zählt auch schon mit. Wir beginnen beim zählen damit bereits bei 1. (Graph kommt aus dem Randbereich) Berührt der Graph die Achse nur und geht in den gleichen Bereich wieder zurück ist das auch . (Das wären die Sattelpunkte) Das Ergebnis ist der Grad der Funktion. Anders gesagt, immer wenn das steigungsverhalten (positiv oder negativ) unterbrochen wird, wird gerechnet. Die Endsumme ist der Grad der Funktion. Flachpunkt die keine Steigung haben müssten damit auch drin sein. ...Hab das ja immer noch nicht verstanden, denke aber das das auch mit drin sein müsste... Ich bin der Meinung, dass die Aussage stimmt. Aber vllt hab ich auch nicht alles bedacht bzw einen Denkfehler? Deshalb, was sagt ihr dazu? Bin gespannt! Danke im Voraus fürs "im besten Falle Bestätigen" ;-). LG Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Überlege gerade: Noch anders gesagt, müsste man die Nullstellenanzahl der 1. Ableitung nehmen und das nehmen??? Und bei Sattelpunkten müssen wir nicht sondern zählen. |
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"Anders gesagt, immer wenn das steigungsverhalten (positiv oder negativ) unterbrochen wird, wird +1 gerechnet. Die Endsumme ist der Grad der Funktion." Wende deine Methode auf die Funktion an. Was ist deine Erkenntnis? |
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"Noch anders gesagt, müsste man die Nullstellenanzahl der 1. Ableitung nehmen und das +1 nehmen???" Und ganz anders gesagt: den Grad anhand des Graphen eindeutig zu bestimmen ist einfach unmöglich. |
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Ich würde als allererstes das Verhalten der Funktionswerte im Unendlichen, d.h. von für betrachten: Ist das zweimal bzw. zweimal , dann ist der Polynomgrad gerade (und mindestens zwei). Ist es je einmal sowie , dann ist der Polynomgrad ungerade. Das allein reicht selbstverständlich nicht, aber es hilft die Sache schon mal einzugrenzen. |
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Danke für die Antworten,... hmmm,.... "Und ganz anders gesagt: den Grad anhand des Graphen eindeutig zu bestimmen ist einfach unmöglich." hmmmm,... ist das denn wirklich so? Unmöglich finde ich ja immer doof! hm,... . andererseits wäre es zumindest eine Aussage, und ich müsste nicht weiter darüber nachdenken.... . bei habe ich mir überlegt, dass dass vllt ein Flachpunkt auf der xAchse ist? abgeleitet wäre dass dann vllt der Sattelpunkt auf der xAchse. Damit wäre es dann vllt eine 3fache Nullstelle. Und das wäre dann der Grad Ich habe keine Ahnung ob das richtig ist... hab ich mir auch selbst überlegt,... aber finde das würde Sinn ergeben. . hach, nicht so einfach die Frage, ;-). |
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"... bei x4 habe ich mir überlegt, dass dass vllt ein Flachpunkt auf der xAchse ist?" Und was soll denn ein "Flachpunkt" bitte schön sein? "... hach, nicht so einfach die Frage, ;-)." Ziemlich einfach. Und ich habe schon die Antwort gegeben. Du kannst mir vertrauen, ich kenne mich aus. ;-) |
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Ja, die Sache mit den Flachpunkten ist auch nicht so einfach.... Also ich verstehe das so: Wenn ich die Steigungstangente zeichne habe ich bei einem Flachpunkt nicht nur eine Schnittstelle mit einem Kurvenpunkt sondern mehrere, die die Tangente anschneiden. Das liegt daran, dass die Steigung in diesen Punkten sich nur minimal voneinander unterscheiden... Fasst man die Stelle zusammen ist das ein lang gezogener Abschnitt. Den verkürzt man in den Ableitungen immer mehr und die Steigungswerte heben sich immer mehr voneinander ab. Ein Flachpunkt wird dann in den Ableitungen zu einem Sattelpunkt. Der dann zu einem Extrempunkt. Der wiederum zu einer Nullstelle. ...??? Ist der Gedanke richtig? |
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"Wenn ich die Steigungstangente zeichne habe ich bei einem Flachpunkt nicht nur eine Schnittstelle mit einem Kurvenpunkt sondern mehrere, die die Tangente anschneiden." Du behauptest doch, dass im Punkt einen Flachpunkt hat. Aber die Tangente ist und sie schneidet die Kurve nur im Punkt . Besser gesagt, berührt und nicht schneidet. Ich sage dir noch mehr: eine Tangente einer differenzierbaren Funktion kann die Kurve in einer kleiner Umgebung des Punktes nicht schneiden, außer im Punkt selbst, in dem die Tangente natürlich die Kurve berührt. Das ist nicht schwer zu beweisen, kannst mal versuchen. "Ist der Gedanke richtig?" Nein, es ist ziemlicher Unsinn, tut mir leid. |
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Ja, gut dass wir drüber geschrieben haben!!! Das hatte ich aus dem Internet so verstanden. Das ist dann wohl falsch verstanden. Über Flachpunkte findet man im Netz auch nicht so viel. Und das was man findet ist verstehe ich nicht. Was ist denn ein Flachpunkt? Auf jeden Fall befindet sich der Flachpunkt zwischen Kurvenpunkten, die nebeneinander liegen und eine fast ähnliche Steigung haben und nur minimal voneinander abweichen? Im Graphen sieht dass dann fast aus wie ein Stück Geradenverlauf. |
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Es gibt leider unterschiedliche Definitionen, s. Wikipedia: de.wikipedia.org/wiki/Flachpunkt Der Grund dafür ist, dass der Begriff nicht sehr verbreitet und eher wenig genutzt wird, weil er in Wirklichkeit nicht viel über die Funktion sagt. Im Übrigen werden dir die Flachpunkte sowieso nicht helfen, den genauen Grad der Funktion zu ermitteln. Denn zwar kann man dann (je nach Definition) z.B. von unterscheiden, aber definitiv nicht zwischen und . |
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Den Beitrag bei Wiki hatte ich mir auch schon durchgelesen... Habe es bei YouTube nochmal direkt in die Suchleiste eingegeben und ein Video dazu gefunden. Ich glaube ich habe es jetzt verstanden, :-). Ein Flachpunkt hat in der ersten Ableitung ein Extremwert (wie ein Wendepunkt bzw ein Sattelpunkt) Der Unterschied zum Wendepunkt ist, dass es sich nicht um einen Hoch- bzw Tiefpunkt handelt (ggf mit zusätzlicher Nullstelle) sondern um einen Sattelpunkt in der zweiten Ableitung ist damit die Steigung 0 beim Flachpunkt. Ebenfalls wie bei einem Wende- bzw Sattelpunkt. Es gibt damit keine Krümmung. Bei dem Punkt handelt es sich um eine Nullstelle und gleichzeitig einen Extremwert. Anders als beim Wendepunkt und beim Sattelpunkt. In der dritten Ableitung ist damit die Steigung ebenfalls 0. Das bedeutet, anders als der Sattelpunkt und Wendepunkt, dass wir keinen Krümmungswechsel haben in diesem Punkt. Wenn ich das jetzt auf die Funktion münze dann waren die Überlegungen doch gar nicht so schlecht? In der ersten Ableitung habe ich einen Sattelpunkt auf der xAchse. Damit hätte ich eine 3fache Nullstelle. Da und ergibt dann 4. Also bis zum Grad 4 müsste das System funktionieren? Ab Grad 5 vllt schon nicht mehr? Das hattest du ja auch schon geschrieben und das es aber bei usw dann nicht mehr funktioniert... Oh man ist das komplex, da muss man sich ganz schön konzentrieren beim schreiben, ;-). Ah! Und was ich mich noch frage! Bei einem Flachpunkt, woher weiss ich denn ob es sich nach rechts- oder nach links krümmt. Es bedeutet ja nur, dass die Krümmung sich nicht ändert. Mache ich dafür vllt die 4. Ableitung? |
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Wenn zweite Ableitung Null ist, dann ist auch Krümmung Null. |
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stimmt! war falsch geschrieben! also ich meine damit wie ob die nebenliegende Krümmungsrichtung rechts oder links ist. Das kann ich ja normalerweise mit der dritten Ableitung beim Wendepunkt herausfinden ob sich der Graph von links nach rechts oder von rechts nach links krümmt. beim Flachpunkt kann ich aber nicht sehen in der dritten Ableitung ob es sich von links nach links weiter geht oder aber von rechts nach rechts weiter geht. So meinte ich das. Und das vllt mit der 4. Ableitung? |
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Die Funktion krümmt sich im Punkt nicht. |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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