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Gradient radialsymmetrischer Funktion berechnen

Universität / Fachhochschule

09:39 Uhr, 29.05.2017

Meine Angabe lautet:

Es sei

f

eine radialsymmetrische Funktion,

d . h

f (r^{\to}) =

Ø(r) für eine Funktion Ø:

R^{+} \to R^{+}

und

r = | | r^{\to} | |

. Berechnen Sie den Gradienten von

f

allgemein und für die Spezialfälle Øi(r)

= r^{i}

für

i = - 1,0,1

.

Leider verstehe ich die Angabe nicht ganz und weiß nicht wie ich anfangen kann, kann mir hierbei jemand helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

10:38 Uhr, 29.05.2017

Hallo,

Du sollst den Gradienten für die Funktion

f : ℝ^{n} \to ℝ^{n}

(vielleicht nur für n=3?) berechnen die in folgender Form gegeben ist:

f (x_{1}, ..., x_{n}) = Φ (\sqrt{x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2}})

Gruß pwm

14:10 Uhr, 30.05.2017

Ok danke, die allgemeine Berechnung des Gradienten hab ich jetzt, aber wie komm ich auf den Spezialfall?

Ich habe Øi

(r) = r^{i}

daraus folgt für

i = - 1 :

(r) = \frac{1}{r}

i = 0 :

(r) = 1

i = 1 :

(r) = r

aber wie kann ich dafür spezifisch den Gradienten ausrechnen?

15:16 Uhr, 30.05.2017

Hossa :-)

Allgemein kannst du den Gradienten von mehrdiomensionalen Funktionen

f : ℜ^{n} \to R

berechnen, bei denen ein n-dimensionaler Vektor

\vec{r}

auf eine reelle Zahl

f (\vec{r})

abgegbildet wird. Besonders oft kommt es vor, dass die Funktion

f (\vec{r})

gar nicht von den einzelnen Komponenten des Vektors

\vec{r}

abhängt, sondern nur von seinem Betrag

r = ∣ \vec{r} ∣

. Daher ist es sinnvoll, sich einmal genau zu überlegen, wie der Gradient einer Funktion

f (r)

aussieht. Sei also:

f = f (r); r = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}

Wir berechnen allgemein die

k

-te Komponente des Gradienten mit der Kettenregel:

\frac{\partial f (r)}{\partial x_{k}} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{\partial r}{\partial x_{k}} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{\partial}{\partial x_{k}} (\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}) = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{2 x_{k}}{2 \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}}} = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{x_{k}}{r}

Damit können wir den ganzen Gradienten bauen:

grad f (r) = (\begin{array}{c} \frac{\partial f (r)}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial f (r)}{\partial x_{2}} \\ ⋮ \\ \frac{\partial f (r)}{\partial x_{n}} \end{array}) = (\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{x_{1}}{r} \\ \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{x_{2}}{r} \\ ⋮ \\ \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{x_{n}}{r} \end{array}) = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{1}{r} \cdot (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) = \frac{\partial f}{\partial r} \cdot \frac{1}{r} \cdot \vec{r}

\frac{\partial f}{\partial r}

gleich der Ableitung

f^{'} (r)

ist und

\frac{\vec{r}}{r}

gleich dem Einheitsvektor

{\vec{r}}^{0}

ist, kannst du dir merken:

grad f (r) = f^{'} (r) \cdot {\vec{r}}^{0}

In deinen drei Sonderfällen erhälst du damit konkret:

grad (r^{- 1}) = - r^{- 2} \cdot {\vec{r}}^{0} = - \frac{1}{r^{2}} \cdot {\vec{r}}^{0} = - \frac{\vec{r}}{r^{3}}

grad (r^{0}) = 0 \cdot {\vec{r}}^{0} = \vec{0}

grad (r) = 1 \cdot {\vec{r}}^{0} = \frac{\vec{r}}{r}

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