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Harmonische Funktion mit komplexen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

wurzel95 aktiv_icon

19:14 Uhr, 13.01.2017

Hi,

ich stehe bei der Aufgabe gerade auf den Schlauch und weiß nicht wirklich weiter. Vielleicht könnt ihr mir da helfen.

Berechnen Sie mit Hilfe komplexer Zahlen Amplitude und Phasenverschiebung der harmonischen Funktion

f (t) = 2 sin (2 t) + 3 cos (2 t + 1), t

∈ R.

Ich habe mit Moivre angefangen:

2 cos (2 t + \frac{π}{2}) + 3 cos (2 t + 1)

dann umgeformt

2 e^{(2 t + \frac{π}{2}) i} + 3 e^{(2 t + 1) i}

und hier stecke ich jetzt fest.

e^{2 t} (2 e^{\frac{π}{2} i} + 3 e^{i})

Was mache ich nun genau?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Enano

10:18 Uhr, 14.01.2017

"Was mache ich nun genau?"

Nachdem du aus der reellen Form die komplexe gebildet hast, addierst du die komplexen Amplituden und transformierst zurück in die reelle Form.

Beispiel:

y = 2 sin (2 t) + 3 cos (2 t + 1)

y = 2 sin (2 t) + 3 sin (2 t + 1 + \frac{π}{2})

Reele in komplexe Form:

y \to y = 2 e^{j 2 t} + 3 e^{2 t + 1 + \frac{π}{2}} = 2 e^{j 2 t} + 3 e^{2 t} \cdot e^{1 + \frac{π}{2}}

Addition der komplexen Amplituden:

A = 2 + 3 e^{j (1 + \frac{π}{2})}

A = 2 + 3 \cdot (cos (1 + \frac{π}{2}) + j \cdot sin (1 + \frac{π}{2}))

A = - 0,5244 + j 1,6209

Berechnung der reelen Amplitude und der Phasenverschiebung:

A = \sqrt{{(- 0,5244)}^{2} + {1,6209}^{2}}

A = 1,704

tan φ = \frac{1,6209}{- 0,5244}

φ =

arctan

(- 3,091) +

180°

φ =

107,9°

= 1,88

rad

Resultierende komplexe Form:

y = 1,704 \cdot e^{j} 1,88 \cdot e^{j} 2 t

y = 1,704 \cdot e^{j (2 t + 1,88)}

Rücktransformation aus der komplexen in die reelle Form:

y =

Im(y) = Im

(1,704 \cdot e^{j (2 t + 1,88)})

Y = 1,704 \cdot sin (2 t + 1,88)

Ich habe für die imaginäre Einheit

j

anstatt

i

geschrieben, weil ich es so gewohnt bin, um bei Anwendungsbeispielen die Verwechslung mit der Stromstärke zu vermeiden.
Unterstriche, Betragsstriche,eckige Klammern und Dachzeichen habe ich aus Unwissenheit weg gelassen. ;-)

wurzel95 aktiv_icon

11:56 Uhr, 14.01.2017

Hi,

danke für deine Hilfe. Kannst du mir vom Verständnis her den Schritt "Addition der komplexen Amplituden:" erklären, wieso e^2t ausgeklammert wird um die Amplitude zu erhalten?

rundblick aktiv_icon

12:45 Uhr, 14.01.2017

.
" Reele in komplexe Form:"
..
" Addition der komplexen ? Amplituden:"
.. !

- oh!

\to

das notierte Vorgehen scheint ja reichlich abenteuerlich

. .

. !

aber na ja

\to

wie bei "Reele" gilt:

\to

auch das zweite "l"

\to

" habe ich aus Unwissenheit weg gelassen."

nebenbei:
insbesondere ist zB

\to e^{i φ} = cos (φ) + i \cdot sin (φ)

oder ?
.

Enano

14:55 Uhr, 14.01.2017

"erklären, wieso

e^{2} t

ausgeklammert wird um die Amplitude zu erhalten?"

Zur Berechnung der komplexen Amplitude benötigst du die Zeitfunktion nicht.
Die beiden Einzelschwingungen können im Zeigerdiagramm durch zeitunabhängige Zeiger dargestellt werden (Momentaufnahme der rotierenden Zeiger bei

t = 0)

.
Indem du die komplexen Schwingungsamplituden geometrisch addierst, erhältst du dann die komplexe Schwingungsamplitude der resultierenden Schwingung.

Enano

15:41 Uhr, 14.01.2017

Hallo rundblick,

ich vermisse an deiner Kritik teilweise die mathematische Präzision und verstehe sie nicht.

Weil ich selbst im hohen Alter immer noch bestrebt bin, dazu zu lernen, bitte ich dich, mir mitzuteilen, was genau, warum abenteuerlich ist und an welcher Stelle ich sachliche Fehler gemacht oder mich verrechnet bzw. verschrieben habe (Kosmetik ausgenommen).

"nebenbei:insbesondere ist zB

. .

. oder ?"

Wer bestreitet das?
Habe ich geschrieben, dass Eulers Formel falsch ist?

Gruß
Enano

rundblick aktiv_icon

16:22 Uhr, 14.01.2017

.
" bitte ich dich, mir mitzuteilen, was genau, warum abenteuerlich ist
und an welcher Stelle ich sachliche Fehler gemacht ..habe "

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

. ok, Enano - gerne mache ich den Versuch
und da brauche ich nicht weit gehen,
denn schon dein erster Schritt ist gelinde gesagt verwunderlich:

hier

\to

"....

y = 2 sin (2 t) + 3 sin (2 t + 1 + \frac{π}{2})

".... Reelle in komplexe Form:
"....

y

→

y = 2 e^{j 2 t} + 3 e^{2 t + 1 + \frac{π}{2}}

vielleicht kannst du selber sehen,

dass

\to 2 s i n (2 t) \neq 2 e^{j 2 t}

denn es ist:.....

... ... ... ... ... ... ...

2 e^{j 2 t} = 2 \cdot [cos (2 t) + j \cdot sin (2 t)]

(und du hast ja jetzt selbst verkündet, dass du diesem Euler schon begegnet bist..)
nun, vielleicht meinst du es ja so

\to I m [2 e^{j 2 t}] = 2 s i n (2 t) . .

.

aber schon gar nicht ist die
rein reelle Zahl

\to 3 e^{2 t + 1 + \frac{π}{2}}

..gleich..->

3 sin (2 t + 1 + \frac{π}{2})

usw..

zu den vielen noch grösseren Böcken, die du danach noch alle geschossen und erlegt hast,
(angefangen bei "Addition der komplexen Amplituden:" ) sparen wir uns andächtig einen Nachruf.
einverstanden?

.

Enano

17:50 Uhr, 14.01.2017

Wie ich sehe, hast du mich nicht verstanden.

y = 2 \cdot sin (2 t) + 3 sin (2 t + 1 + \frac{π}{2})

stellt für mich die Superposition von 2 Sinusschwingungen

y 1 = 2 \cdot sin (2 t)

und

y 2 = 3 \cdot sin (2 t + 1 + \frac{π}{2})

mit gleicher Frequenz dar.

Die allgemeine Darstellung durch einen rotierenden Zeiger sähe dann für eine Schwingung in symbolischer Form so aus:

Aus:

y = A \cdot sin (ω \cdot t + φ), (A > 0, ω > 0)

wird dann:

y

(komplex)

= A \cdot e^{j ω t + φ} = A

(komplex)

\cdot e^{j ω t}

mit der komplexen Schwingungsamplitude:

A (komplex)

= A \cdot e^{j φ}

und der Zeitfunktion der Schwingung:

e^{j ω t}

.

Sind das alles mehr oder weniger große Böcke?

"sparen wir uns andächtig einen Nachruf.
einverstanden?"

Ja, aber nur weil ich noch lebe.;-)

Übrigens, welche Amplitude und Phasenverschiebung hast du denn heraus?

Enano

04:02 Uhr, 15.01.2017

Ergänzung:

"vielleicht meinst du es ja so

. .

. "

Das hast du richtig erfasst.

"aber schon gar nicht ist die
rein reelle Zahl"

In der Tat ist mir an dieser Stelle ein Flüchtigkeitsfehler unterlaufen, denn ich habe das

j

vergessen, also sollte es richtig heißen:

Reelle in komplexe Form:
(Korrektur von Reele in Reelle!)

y \to y

(komplex)

= 2 \cdot e^{j 2 t} + 3 \cdot e^{j (2 t + 1 + \frac{π}{2})}

y

(komplex)

= 2 \cdot e^{j 2 t} + 3 \cdot e^{j 2 t} \cdot e^{j (1 + \frac{π}{2})}

Ich entschuldige mich für diese kapitalen Fehler, die auch nur mir passieren konnten!

Um auch noch die letzten Mißverständnisse auszuräumen:
Mir war schon klar, wo div. Zeichen erforderlich gewesen wären, aber nicht, was dafür eingetippt werden muss, mal abgesehen vom Betragszeichen.

wurzel95 aktiv_icon

10:45 Uhr, 15.01.2017

Ich glaub, da steckt bei mir auch wieder das Problem, dass ich von diesem Schritt nicht weiterkomme. Im Eingangspost waren es bei der Amplitude ja Zahlen, mit denen ich rechnen kann.

Wie ginge es denn hier weiter?

Enano

11:51 Uhr, 15.01.2017

"Wie ginge es denn hier weiter?"

s

10 : 18, 14.01

.

Bis auf den Rechtschreibfehler und das vergessene

j

sollte der Rest eigentlich richtig sein.
Wenn nicht, wäre ich bei gravierenden Fehlern (Rechtschreib- Interpunktions- und/oder Grammatik-Fehler ausgenommen) dankbar für konkrete Hinweise, was noch warum falsch sein sollte.

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