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Herleitung Vektorprodukt

Schüler Gymnasium,

Tags: Herleitung, Stufenform, Vektorprodukt

xEhtamx aktiv_icon

13:28 Uhr, 09.07.2012

Hallo,
ich habe ein Problem. In meinem Mathebuch steht die Herleitung des Vektorprodukts erklärt. Die ersten Schritte verstehe ich, aber dann komme ich nicht weiter.

Hier die Erklärung vom Mathebuch:

Sind die Vektoren

a = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

und

b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix})

gegeben, so erhält man aus den Bedingungen a ist orthogonal zu

c

und

b

ist orthogonal zu

c

das LGS

(1) a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + a_{3} x_{3} = 0

(2) b_{1} x_{1} + b_{2} x_{2} + b_{3} x_{3} = 0

für die Koordinaten

x 1, x 2

und

x 3

des Vektors

c

und damit die Matrix

(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

bzw.die Matrix in Stufenform (DIESEN SCHRITT VERSTEHE ICH NICHT)

(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} & a_{1} b_{3} - a_{3} b_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Setzt man

x_{3} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1},

so ist

(a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}; a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}; a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})

eine Lösung dieses LGS und somit ist

c = (\begin{matrix} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \end{matrix})

ein möglicher Vektor mit der gewünschten Eigenschaft.

Jetzt meine Fragen :
Wie kommt man von der Matrix auf die Stufenform. Ich hab versucht die Gleichung aufzulösen aber ich komme nicht weiter. Außerdem versteh ich nicht wieso man für

x_{3} = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

setzt.

Danke schonmal für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
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Bummerang

14:15 Uhr, 09.07.2012

Hallo,

1. Von der Matrix auf die Stufenform
Zerlege den Schritt in zwei Teilschritte:
Teilschritt 1: Multipliziere die zweite Zeile mit

a_{1}

Teilschritt 2: Ziehe von dieser neuen zweiten Zeile das

b_{1}

-fache der ersten Zeile ab

2. Spezielle Wahl von

x_{3}

Wenn man am Ende des Gauß-Verfahrens für homogene LGS in der letzten Zeile zwei Werte

k_{1}

und

k_{2}

stehen hat, dann ist doch offensichtlich, dass bei Wahl von

x_{3} = k_{1}

als zweiter Summand in der ausgeschriebenen Gleichung

k_{2} \cdot k_{1}

entsteht, was wegen der Kommutativität der Multiplikation gleich

k_{1} \cdot k_{2}

ist. Da das Ganze Null ergeben soll, ergibt sich dann

x_{2} = - k_{2}

und in der ausgeschriebenen Gleichung steht dann:

k_{1} \cdot (- k_{2}) + k_{1} \cdot k_{2} = 0

Und das stimmt ja immer!

xEhtamx aktiv_icon

15:03 Uhr, 09.07.2012

Erstmal ein Dankeschön für die schnelle Antwort.

Zum ersten Teil: Hier hab ich jetzt alles verstanden. Mir ist das Gauß-Verfahren noch nicht lange bekannt und ich bin nicht auf die Idee gekommen, die Zeilen

z . b

. nur mit

a_{1}

zu multiplizieren. Wenn man dann aber daran denkt, dass dies nur Parameter sind, ist das logisch.

Zum zweiten Teil: Hier blicke ich noch nicht ganz durch. Ich versteh auch noch nicht ganz wie man dann auf die anderen Ergebnisse kommt. Aber das werde ich mir nochmal in Ruhe anschauen und versuchen zu verstehen. Wenn sie noch eine kleine Anregung zum besseren Verständnis hätten, würde ich mich freuen. .

Aktualisierung: Leider komm ich beim meiner zweiten Frage immernoch nicht weiter. Kann mir da noch jemand bitte helfen ?

hagman aktiv_icon

12:45 Uhr, 21.07.2012

Die nächstliegende Lösung von

a \cdot x + b \cdot y = 0

ist

x = b, y = - a

. Natürlich liegt

y = a, x = - b

ebenso nahe.
Grundsätzlich dürfte man eine Unbekannte,

z . B

x

beliebig wählen, einsetzen und nach

y

auflösen, denn als einzelne Gleichung mit mehreren Unbekannten ist die Lösung nicht als eindeutig zu erwarten. Aber bereits aufs Geratewohl

x = 1

zu setzen und dann auf

y = - \frac{a}{b}

zu kommen, ist ja riskant, da man nicht weiß, ob überhaupt

a \neq 0

ist. Dagegen ist

a \cdot b + b \cdot (- a)

auf jeden Fall

= 0,

egal, welche Werte

a

und

b

haben.

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