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Herleitung der Bogenlänge

Schüler

Tags: Bogenlänge einer Kurve, Herleitung

schneeman aktiv_icon

21:32 Uhr, 10.01.2011

Kann mir jemand die Herleitung der Bogenlänge erklären?
Ich hab zwei Methoden gesehen und weiß nicht welche die richtige ist....

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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smoka

21:51 Uhr, 10.01.2011

Hallo,

Wie wärs, Du schilderst die Herleitung, die Du für richtig hältst und wir schaun dann mal drüber obs stimmt?

Gruß,

smoka

schneeman aktiv_icon

22:22 Uhr, 10.01.2011

Hier wird mit Pytagoras gearbeitet:
ds ist die sekante vom bogenstück
(ds)^2

\approx {(d x)}^{2} + {(d y)}^{2}

(ds)^2

\approx ({(\frac{d x}{d x})}^{2} + (\frac{{(d y)}^{2}}{{d x}^{2}}) \cdot {d x}^{2}

(ds)

\approx \sqrt{(\frac{1 + {(d y)}^{2}}{{(d x)}^{2}})} \cdot (d x)

stimmt das?

smoka

22:32 Uhr, 10.01.2011

Nicht ganz.

(d s)^{2} = ({(\frac{d x}{d x})}^{2} + {(\frac{d y}{d x})}^{2}) \cdot {(d x)}^{2} = ({(1)}^{2} + {(\frac{d y}{d x})}^{2}) \cdot {(d x)}^{2}

\Rightarrow d s = \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} \cdot d x = \sqrt{1 + {(f ʹ (x))}^{2}} \cdot d x

aleph-math aktiv_icon

00:19 Uhr, 11.01.2011

Hallo!

"

d s = \sqrt{1 + (f ʹ (x)) ²} \cdot d x

.." ist die eine Methode, die ich auch kenne; was ist die andere? Viell. wie beim Bogenmaß?

Gruss

smoka

09:16 Uhr, 11.01.2011

Eine andere (ähnliche) Möglichkeit ist die hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Bogenl%C3%A4nge#Motivation

schneeman aktiv_icon

16:29 Uhr, 11.01.2011

kann ich für

{(\frac{d y}{d x})}^{2}

dann einfach

f' {(x)}^{2}

schreiben? Wieso?
und wie gehts dann weiter? kann ich einfach ein integral vor die wurzel schreiben, weil

l

ist doch

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + f' {(x)}^{2}} d x

?

als zweites hab ich die methode hier gemeint www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1059
ist aber irgendwie das gleiche wie oben nur ausführlicher, kann das sein?

hagman aktiv_icon

17:18 Uhr, 11.01.2011

So verschieden sind die angegebenen Mölichkeiten ja gar nicht, außer dass oben sehr lax mit Differenzialen umgegangen wird.

Wegen

f' (x) = \frac{d y}{d x}

ist natürlich auch

f' {(x)}^{2} = {(\frac{d y}{d x})}^{2}

.

Und wenn man schon mit Differenzialgliecungen arbeitet, folgt ebenso aus

d s = \sqrt{1 + f' {(x)}^{2}} d x

sofort

\int d s = \int \sqrt{1 + f' {(x)}^{2}} d x

- -

Angemessener finde ich folgende Methode:
Wir *definieren* die Bogenlänge als Supremum über alle Längen approximierender Sekantenzüge.
Für eine einzelne Strecke von

(x_{k}, y_{k})

nach

(x_{k + 1}, y_{k + 1})

eines Sekantenzugs gilt

s_{k} = \sqrt{{(x_{k + 1} - x_{k})}^{2} + {(y_{k + 1} - y_{k})}^{2}}

= \sqrt{{(x_{k + 1} - x_{k})}^{2} + {(x_{k + 1} - x_{k})}^{2} \cdot f' {(ξ_{k})}^{2}}

mit

x_{k} < ξ_{k} < x_{k + 1}

nach Mittelwertsatz

= (x_{k + 1} - x_{k}) \cdot \sqrt{1 + f' {(ξ_{k})}^{2}}

(beachte

x_{k} < x_{k + 1})

und dann für den Streckenzug von

(x_{0}, y_{0})

bis

(x_{n}, y_{n})

mit

n \in ℕ, x_{0} = a, y_{n} = b :

s = \sum_{k = 0}^{n - 1} (x_{k + 1} - x_{k}) \cdot \sqrt{1 + f' {(ξ_{k})}^{2}}

Das sieht ja schon sher nach einer Riemannsumme aus.
Somit gilt

s \approx \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f' {(ξ_{k})}^{2}} d x,

sobald die Unterteilung hinreichend fein ist; genauer: Zu

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

mit

| s - \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f' {(ξ_{k})}^{2}} d x | < ε

für alle Streckenzüge mit

max {x_{k + 1} - x_{k}} < δ

.
Da das Verfeinern eines Streckenzuges allenfalls zu einer Verlängernug führt, gilt hierbei sogar

- ε < s - \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f' {(ξ_{k})}^{2}} d x \leq 0

Es folgt, dass

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + f' {(ξ_{k})}^{2}} d x

tatsächlich das Supremum über alle

s

ist
(All das natürlich nur, wenn

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + f' {(ξ_{k})}^{2}} d x

existiert)

schneeman aktiv_icon

19:53 Uhr, 11.01.2011

Ok, gut. Ich werds wahrscheinlich eher nach der ersten Methode lernen, weil ich die zweite nicht so ganz verstehe... Trotzdem Danke! :-)

aleph-math aktiv_icon

23:14 Uhr, 11.01.2011

Gu. Abend!

Das Ergeb. ist ja in beiden Fällen gleich, da muss man gar nicht wählen; der Unterschied liegt im Be-/Nachweis (Pythagoras vs. Mittelw.satz). Für die Anwendung (insbes. Oberfl.Berechng) ist der aber 2-rangig.

"Wahre" Mathem. werden bei der Aussage aufschreien, aber ist nicht ein Beweis, dh. die Begründ./Erklärg., "warum" etwas funkt., (neben der mathem. Spielerei) nur als Berechtig. interessant, die fragl. Methode/Operation, dh. "wie" etwas funkt., anwenden zu dürfen? Dazu genügt aber eine anerkannte & glaubw. Autorität; selber den Beweis führen muss man nur selten, es sei denn, man wird dazu "vergattert" (ja, die lieben Prof's..).

Dieser Beweis soll nat. so einfach wie möglich u. doch schlagend sein; u. da ist m.E. der Pythag. wesentlich leichter zu durchschauen. Was heisst da "lax" bzw. "angemessener"? Bei nächster Gelegenh. werd ich in meinem Liebl.buch von Hilbert (für wahr eine Autorität!) nachsehen, was er sagt; soviel ich mich erinn., geht er auch in Richtg Pythag.

LG zusammen!

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