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Herleitung der Formel zur Volumenberechnung einer

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Parametrisieren, Volumenintegral

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Schirsch

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19:39 Uhr, 09.03.2019

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Hallo, Grüße erstmal:-)

Habe eben versucht, per Dreifachintegration die Formel zur Berechnung des Volumens von Pyramiden mit quadratischer Grundfläche herzuleiten.
Leider erhalte ich statt

\frac{1}{3} a h

das falsche Ergebnis

- \frac{8}{3} a h

(a=Seitenlänge Grundfläche, h=Höhe), kann den Fehler aber aufgrund meines begrenzten Verständnisses leider nicht selbst ausfindig machen.

Im Folgenden mein missglückter Ansatz:

V = \int_{- b}^{b} \int_{x - b}^{b - x} \int_{0}^{h - (\frac{y}{b}) h - (\frac{x}{b}) h} 1 d z d y d x

Dabei ist

b = (\frac{\sqrt{2}}{2}) a,

also die halbe Grundflächendiagonale.

Wäre für jede Hilfe dankbar!!
Grüße, Schirsch :-))

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Roman-22

23:38 Uhr, 09.03.2019

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Die Grenzen, die du dir da überlegt hast, gelten tw nur für

x, y \geq 0

.
Beschränke dich daher der Einfachheit halber auf ein Viertel der Pyramide und multipliziere das Ergebnis dann mir 4:

4 \cdot \int_{0}^{b} \int_{0}^{b - x} \int_{0}^{\frac{h}{b} \cdot (b - x - y)} 1 d z d y d x = \frac{2}{3} b^{2} h = \frac{1}{3} a^{2} h

Schirsch

Schirsch aktiv_icon

01:28 Uhr, 10.03.2019

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Zunächst vielen Dank für die rasche Antwort/Lösung!:-)
Mir ist allerdings noch nicht ganz klar, warum meine Grenzen nur für positive

x, y

aufgehen. Wären sie denn rein formell korrekt, wenn die z-Grenze

\frac{h}{b} (b - | x | - | y |)

lauten würde?

Antwort

Roman-22

06:14 Uhr, 10.03.2019

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Nicht nur beim z-Integral, auch beim y-Integral müsstest du die Beträge einsetzen.
Für

x < 0

sind die y-Grenzen schließlich

- x - b

und

x + b

und nicht

x - b

und

- x + b

.

Frage beantwortet

Schirsch

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09:08 Uhr, 11.03.2019

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Danke, ich glaube das Thema nun besser zu verstehen!

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