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Herleitung der Speichenformel

Universität / Fachhochschule

Tags: Herleitung, Speichenformel, Speichenlänge

Rheini aktiv_icon

19:58 Uhr, 21.08.2023

Liebe Mathe-Freunde!
Ich baue in meiner Freizeit Laufräder. Ich bin weder Schüler noch Student; eher der Praktiker.
Dazu baue ich aus

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Speichen, der Felge und einer Achse das Rad. Es muß genau geradeaus laufen, darf wenig Seiten- und Höhenschlag haben.
Auf Wikipedia steht dazu unter "Speiche (Rad)" und der Rubrik "Speichenlänge" die Formel dafür.
Das Ausrechnen der Länge der Speichen macht keine Schwierigkeiten. Mich interessiert die Herleitung, also wie kommt der "Entwickler" zu dieser Formel.
Im Einzelnen: Warum die 2. Wurzel und warum

z . B

die 4 im Nenner?

(Hatte gedacht, die 4 hat was mit der Fläche zu tun?

- -

aber es geht doch um die Speichenlänge!)

Über aussagekräftige Tipps wäre ich dankbar.
Gruß von Rheini aus dem "immer sauberer werdenden Ruhrpott".

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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Roman-22

22:52 Uhr, 21.08.2023

Da steckt einfach der Kosinussatz dahinter.
Und die 4 im Nenner stammt daher, dass die Formel anstellen der Radien

R, r

die Durchmesser

D = \frac{R}{2}

und

d = \frac{r}{2}

verwendet.
Zusätzlich wird dann noch der leichte seitliche Versatz mittels Pythagoras korrigiert.
Vielleicht helfen dir die Erklärungen und Skizzen hier
shorturl.at/kBENT
oder hier
junik-hpv.de/wp-content/uploads/2021/02/Speichenberechnung.pdf

Randolph Esser aktiv_icon

00:59 Uhr, 22.08.2023

Seien die Variablen wie bei Wikipedia (siehe Anhang).

Speicht man nun ganz einfach nur radial,

ergibt sich mit Pythagoras

L = \sqrt{a^{2} + {(\frac{D_{w}}{2} - \frac{d}{2})}^{2}}

= \sqrt{a^{2} + \frac{D_{w}^{2} - 2 D_{w} d + d^{2}}{4}}

.

Bei gekreuzten Speichen geht es zunächst analog mit

L = \sqrt{a^{2} + K^{2}},

jedoch ist dann

K = \sqrt{{(sin (α) \frac{d}{2})}^{2} + {(\frac{D_{w}}{2} - cos (α) \frac{d}{2})}^{2}}

= \sqrt{\frac{{sin (α)}^{2} d^{2} + D_{w}^{2} - 2 D_{w} d cos (α) + {cos (α)}^{2} d^{2}}{4}}

= \sqrt{\frac{D_{w}^{2} - 2 D_{w} d cos (α) + d^{2}}{4}}

nochmal eine zusätzliche trigonometrische Bastelei.

Siehe hierzu die angehängte Skizze.

Eingesetzt gibt das die Wikipedia-Formel

L = \sqrt{a^{2} + \frac{D_{w}^{2} - 2 D_{w} d cos (α) + d^{2}}{4^{2}}},

wobei ich mir hier das halbe Löchli "

- \frac{d_{s}}{2}

" am Ende schenke...

Rheini aktiv_icon

12:01 Uhr, 22.08.2023

Danke, Roman-22 für die schnelle Antwort und den Link dazu.

Herzliche Grüße von "Rheini" aus dem Ruhrgebiet!

Rheini aktiv_icon

12:09 Uhr, 22.08.2023

Dank an KartoffelKäfer
für die schnelle und ausführliche
Problemlösung!

Ich bin angenehm überrascht über dieses Forum; hatte ich lange gezaudert und erst mal "in der analogen Welt" um Hilfe gebeten -
gerade weil es ja vergleichsmässig eher um einfaches Problem
ging.
(Aber erst mal draufkommen

...)

Herzliche Grüße von "Rheini" aus dem Ruhrgebiet!

Randolph Esser aktiv_icon

13:42 Uhr, 22.08.2023

Oder die Speiche als Raumdiagonale eines Quaders

s_{1}, s_{2}, s_{3}

.

Das ist dann

L = \sqrt{s_{1}^{2} + s_{2}^{2} + s_{3}^{2}}

mit

s_{1} = a, s_{2} = sin (α) \frac{d}{2}, s_{3} = \frac{D_{w}}{2} - cos (α) \frac{d}{2}

und ergibt wieder (bis auf das halbe Löchli) die Wikipedia-Formel...

Rheini aktiv_icon

19:06 Uhr, 23.08.2023

Hallo KartoffelKäfer!

Die Speichenberechnung in rechteckigen Räumen ist nicht "meine Spielwiese", für mich also nicht so interessant.

Aber ich konnte jetzt Deine Skizze ansehen -
da hast Du Dir richtig Arbeit gemacht. Vielen Dank dafür!
Ich denke mal, das Thema ist jetzt abgeschlossen; es sei denn, Du findest in Deinen Berechnungen einen gravierenden Fehler, dann käme ich ziemlich durcheinander - was ich aber nicht vermute.
Dank an alle, die sich diesem Thema außerhalb des Kernbereiches höherer Mathematik angenommen haben.
Gruß von "Rheini".

Randolph Esser aktiv_icon

19:44 Uhr, 23.08.2023

Na ja, Arbeit ist was anderes...

Du kannst ja einfach mal so mitnehmen:

Der Abstand zwischen zwei Punkten

a, b

R^{n}

gemäß der durch die euklidische Norm induzierten Metrik ist

\sqrt{\sum_{k = 1}^{n} {(b_{k} - a_{k})}^{2}}

.

Ja nö, wenn jetzt alles klar ist, kannst Du

den Thread ja haken...

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