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Herleitung einer Summenformel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Herleitung, Summenformel

Benedikt_Winterfeld aktiv_icon

21:23 Uhr, 23.08.2009

Hallo!
Um ein fundierderes Fachwissen zu erlangen und um meine Note zu verbessern, beschäftige ich mich gerade mit eine Herleitung.

1 .)

Was ist das Problem?

\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots

Zur Bestimmung der Obersumme eines Flächeninhaltes der Funktion

f (x) = x^{2}

benötigt man folgende Summenformel:

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + z^{2}

\Leftrightarrow \frac{1}{6} \cdot (z + 1) \cdot (2 z + 1)

Diese Summenformel würde ich sehr gerne mathematisch herleiten und zwar so, dass es nachvollziehbar und verständlich ist.

2 .)

Welche Gedanken hast du dir gemacht?

\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots

Hier beginnt es auch schon. Wo soll ich ansetzen? Zunächst habe ich versucht, den Term "

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + z^{2}

" so umzuformen, dass ich auf die Summenformel komme. Dies erscheint mir aber wenig hilfreich, denn diese komprimierte Ausgangsform erhält man ja nur, wenn man die Intervalgrenzen, welche zur Bestimmung der Obersumme erforderlich sind, sprich die Breite

\frac{p}{n}

(p=hintere Grenze, vordere Grenze nehm ich mit 0 an, schon ausgeklammert hat. Anders erscheint es mir aber nicht logisch, denn wenn man etwas herleitet, sollte es ja auch allgemein sein und nicht an einem Beispiel?! (by the way: stimmt das ? ) Nun stehe ich quassi immer noch bei Null und habe keinen Plan, denn den Term bekomm ich einfachh nicht in die Richtung umgeformt.

3 .)

Warauf möchte ich damit hinaus?

\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots

Kann mir jemand einen Tipp geben oder einen Ansatz nennen, wie ich den Term "

1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + z^{2}

" umformen muss, damit ich auf die Summenformel komme? Die Frage, ob das überhaupt der richtige Ansatz ist, wäre auch noch zu beantworten :-D)

\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots

Vielen Dank euch allen schon einmal im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen

Benedikt

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

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BjBot aktiv_icon

21:37 Uhr, 23.08.2009

Vor einiger Zeit wurde das schonmal diskutiert und eine (graphische) Idee zur Herleitung findest du hier:

http//www.onlinemathe.de/forum/Summe-von-Quadratzahlen-14

Sina86

21:38 Uhr, 23.08.2009

Hi,

diesen Term direkt umzuformen wird schwer gehen. Eigentlich ist diese Summenformel das Paradebeispiel für einen Induktionsbeweis (über z). Damit kann man die Richtigkeit dieser Formel zeigen.

Wie man aber auf die Formel kommt ist eine gute Frage, ich denk mal drüber nach :-)

Gruß
Sina

Edit: Sorry, der Beitrag von BjBot war eben noch nicht da...

Benedikt_Winterfeld aktiv_icon

22:04 Uhr, 23.08.2009

@ BjBot:
Ich glaube der Link von dir von damals scheint sehr aufschlussreich zu sein. Nur anscheinend ist das alles ein wenig mehr Arbeit als ich mir gedacht hatte^^
Werde mir das alles in Ruhe durcharbeiten und mich dann bei eventuellen Rückfragen nochmal bei dir melden morgen.

Vielen Dank schon einmal im Voraus

Gruß
Benedikt

PS: @ Sina86: Ich finds eigentlich immer toll, wenn viele Ideen und Lösungsansätze reinfließen. Aber hier im Forum ist das wohl anders xD Trotzdem Danke.

Benedikt_Winterfeld aktiv_icon

19:05 Uhr, 24.08.2009

Ok,
ich habe mir den Text www.arndt-bruenner.de/mathe/Allgemein/summenformel1.htm durchgelesen und verstehe zumindest nun den grundsätzlichen Ansatz^^

In dem Text wird die Summe der Quadratzahlen von 1 bis

n^{2}

als Formel berechnet bzw. es wird durch ein Pascalsches Dreieck hergeleitet...

Ich fang einfach mal an, dass ganze wiederzugeben. "Unterbrecht" mich, wenn ich mich falsch ausdrücke^^

1 .)

Es wird jeweils die Differenz zwischen den

n^{2}

(also der aufeinander folgenden Quadratzahlen) gebildet und die in einem zweiten Schritt bewiesen, dass dies die Reihe der ungeraden Zahlen ist.

2 n - 1

bildet dabei die Differenz zwischen der Quadratzahl

n^{2}

und dem Vorgänger. Soll heißen, einfach die ungeraden zahlen aufsteigend. Erste Frage: Woher weiß ich, dass ich so ansetzen muss, wenn ich die Formeln beweisen möchte?

2 .)

Nun werden die

n^{2}

Zahlen aufsteigend aufgeschrieben. Soll heißen: Über

1^{2}

die Zahl

1,

über

2^{2}

die Zahlen

1,3

oder über

5^{2}

die Zahlen

1,3,5,7,9

. Dies sind die ungeraden Zahlen in der oben bewiesenen Reihe. Die Obergrenz ermittelt man über

2 n - 1

. Beispiel für

4 : 2 n - 1 =

Obergrenze

2 \cdot 4 - 1 = 7

\Rightarrow

in der Spalte stehen die ungeraden Zahlen bis 7 (positiv)

Warum macht man dies?

3 .)

Durch seltsame Spiegelung erhält man ein geordnetes Dreieck, indem die Summe der drei vorhergehenden Dreiecke für jede Zahl

11

ist, was im folgenden auch bewiesen wird. (Anhang)
Also mein Problem auch hier ist nicht die Nachvollziehbarkeit als ganzes, sonder einfach die Frage: Wie kommt darauf, soetwas willkürlich zu machen^^ warum darf man überhaupt das ganze einfach spiegeln?

Soweit ersteinmal^^

Danke schon einmal

Gruß

Benedikt

JensW aktiv_icon

19:42 Uhr, 24.08.2009

"Erste Frage: Woher weiß ich, dass ich so ansetzen muss, wenn ich die Formeln beweisen möchte?"

Wir sagen es dir.

Das geht bei fast allen Summen formeln so...

Wenn man eine Summe geschlossen ausdruecken will suche man sich eine Teleskop Summe...

\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} - a_{k - 1}) = a_{n} - a_{0}

Die frage ist nur noch welche Telekopsumme...
Man versucht die der Quadrate..

\sum_{k = 1}^{n} (k^{2} - (k - 1)^{2}) = n^{2} - 0

\sum_{k = 1}^{n} (2 k - 1) = n^{2}

Das fuehrt einen aber offensichtlich auf die Summenformel

\sum_{k = 1}^{n} k = n (n - 1) / 2

ISt es da so weit hergeholt einfach mal die Telekopsumme der dritten Potenz auszuprobieren wenn die Quadratische Teleskopsumme die Summenformel der 1sten ergeben hat?

Fuer jede l

\sum_{k = 1}^{n} k^{l}

Die Telekopsumme jeweisl einen hoeher ansetzen...

Hier mal ein ganz anderes Beispiel fuer genau die gleiche Vorgehensweise...

a_{n} = q^{n}

\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} - a_{k - 1}) = a_{n} - a_{0}

\sum_{k = 1}^{n} (q^{k} - q^{k - 1}) = q^{n} - 1

\sum_{k = 1}^{n} q^{k - 1} (q - 1) = q^{n} - 1

\sum_{k = 1}^{n} q^{k - 1} = \frac{q^{n} - 1}{q - 1}

\sum_{k = 1}^{n} s i n (k)

\sum_{k = 1}^{n} c o s (k)

kriegt man auch mit Telekopsummen raus...

Benedikt_Winterfeld aktiv_icon

19:55 Uhr, 24.08.2009

Hallo,

sieht soweit ganz logisch aus, allerdings habe ich noch nie von einer Teleskopsumme gehört, geschweige denn von diesem Zeichen

\sum_{i = 1}^{n}

. Könnte ich mir jetzt beibringen, ist denk ich mal aber nicht zielorientiert.
Kann ich die Aufgabe nicht in den Grenzen meines Grundkurses

12

Klasse Niedersachsen lösen :-D)
Mir würde ja schon einmal erstmal reichen, wenn mir jemand sagt, warum man die Dreiecke jetzt so seltsam anordnet^^
Gruß
Benedikt

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