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Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte von f(x,y)

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Funktionen

Tags: Funktion

maka1989 aktiv_icon

14:17 Uhr, 17.06.2009

Guten Tag,

ich bin bisher so weit bei dieser Aufgabe a) gekommen:

- also ist (0/2/-5) ein Tiefpunkt, denn

Gradient von (0/2) = 6 * 12 -0^2 = 72 > 0 und fxx(0/2) = 6 > 0

---> somit ist (0/2/5) ein Tiefpunkt

- (0/-2/27) ist ein Hochpunkt, denn

Gradient von (0/-2) = -2 * -12 - 0^2 = 24 > 0 und fxx(0/2) = -2 < 0

--> somit ist (0/-2/27) ein Hochpunkt

Ich denke der Hoch- und Tiefpunkte müssten stimmen, oder?! Ist ja auch in der Grafik ersichtilich...

Aber was ist jetzt mit dem Sattelpunkt? Es gibt doch noch einen Sattelpunkt, aber ich komm echt nicht drauf, wie ich diesen errechnen sollte...

Hoffentlich kann mir jemand helfen ;-)

Vielen Dank schon im Vorraus!

Grüße von Marco

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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15:03 Uhr, 17.06.2009

Hast du nicht noch ein bisschen vergessen. Wie sieht z.B. die Ausgangsfunktion aus?

maka1989 aktiv_icon

20:23 Uhr, 17.06.2009

Hey,

meinst du die Aufgabenstellung? Die ist unten inklusive einem Schaubild angefügt...

kannst du bisschen präziser sein?
Was habe ich vergessen?

Stimmt was mit dem HP oder TP nicht?

Was soll denn mit der Ausgangsfunktion sein? ...sorry, ich steh grad bisschen aufm Schlauch :-)

Ich hoffe, dass mir noch jemanden einen (den entscheidenden) Tipp geben kann....

Liebe Grüße

Maddin17 aktiv_icon

20:27 Uhr, 17.06.2009

hi,
also um dir zu helfen brauche ich die funktionsgleichung!
dann kann ich dir den wendepunkt bestimmen und dieser muss dann eine waagerechte tangente haben denn dann ist dieser wendepunkt ein sattelpunkt!
und vll. könntest du deine hoch und tiefpunkte präzieser angeben!

maka1989 aktiv_icon

20:34 Uhr, 17.06.2009

Hey,

du brauchst die partiellen Funktionen?

f(x,y) = y^3 - x^2 *y + x^2 - 12y + 11
fx(x,y) = 2xy + 2x

fy(x,y) = 3y^2 + x^2 - 12

könntest du mir den Sattelpunkt errechnen???

Was meinst du damit, dass ich Hoch- und Tiefpunkte präziser angebe? Bei mir kommen da "glatt"/gerade Zahlen raus, also (0/2/-5)[Tiefpunkt] bzw. (0/-2/27)[Hochpunkt]

ich hoffe du kannst mir weiterhelfen...

ciao

Maddin17 aktiv_icon

20:45 Uhr, 17.06.2009

ne leider nicht so wie du das machst haben wir das noch nicht gemacht tut mir echt leid!
schau mal bitte kurz bei meinem problem mit dem titel "ganzrationale funktion vierten grades berrechnen" nach weil da hab ich ein kleines problem^^

danke

Maker aktiv_icon

11:25 Uhr, 18.06.2009

Ich meinte die Aufgabenstellung. Aber ich hatte das übersehen. Ich hatte nur den Anhang von dem Bild gesehen, nicht von der Aufgabenstellung. Ich schau nachher drüber und schreibe dann was dazu.

Maker aktiv_icon

12:51 Uhr, 18.06.2009

a) Die beiden Extremstellen stimmen. Die kommen von

f'_{y}

= 0. Wenn du

f'_{x}

= 0 setzt, kriegst du den Punkt (0,0) raus. Jetzt in

f ″_{x x} \cdot f ″_{y y} - (f ″_{x y})^{2}

einsetzen liefert.

2 \cdot 0 - 0

= 0 -> Der Punkt ist bei dem Ergebnis unbestimmt. Also die Funktion hat meiner Meinung nach keinen Sattelpunkt.

Was hast du bei b) raus?

maka1989 aktiv_icon

18:46 Uhr, 18.06.2009

Gut, dann stimmen die Extrema, also HP und TP schon mal!

Noch mal zum Sattelpunkt:
Wenn ich

fx(x,y) = 2xy + 2x = 0 und damit ist es 2x(y+1) = 0 , dann ist doch die eine Lösung x=0 und die andere Lösung y=-1, oder nicht?

Somit wäre dies der Punkt (0 , -1 , 22) Was ist das für ein Punkt? Ist das der Sattelpunkt?

Ciao

Maker aktiv_icon

08:44 Uhr, 19.06.2009

Wenn du

f_{x} (x, y)

= 2x(y+1) hast. Setzt man glaube ich immer den y-Wert gleich Null. Also immer den Wert nach dem du nicht abgeleitet hast. Das ergibt dann 0 =

2 x

und liefert dann den Punkt (0,0). Wenn du jetzt sagst du setzt x=0 bleibt folgendes stehen 0 =

0 \cdot (y + 1)

. Du kannst jetzt für y JEDE Zahl einsetzen und es würde die Gleichung erfüllt werden. Dein y = -1 wäre irgendeine Lösung. Exakt würde rauskommen (0,t) ,

t \in R

. Damit könntest du nichts anfangen, bzw. nicht weiterrechnen. Vielleicht kann das noch jemand anderes bestätigen mit den Null setzen der verschiedenen Variablen.

maka1989 aktiv_icon

13:38 Uhr, 19.06.2009

Maker:"Vielleicht kann das noch jemand anderes bestätigen mit den Null setzen der verschiedenen Variablen."

Hey, ich wäre auch froh, wenn nochmal jemand etwas zu diesem Punkt sagen könnte! Weil dann gäbe es ja eigentlich neben HP und TP ja (meiner Meinung nach) keine anderen Punkte... denn wo sollen die denn herkommen?

...jetzt müssen echt die Cracks ran :-) Ich hoff mal, dass einer helfen kann

Ciao

HP7289 aktiv_icon

14:53 Uhr, 19.06.2009

f (x, y) = y^{3} + x^{2} (y + 1) - 12 y + 11

f_{x} (x, y) = 2 x (y + 1)

f_{y} (x, y) = 3 y^{2} + x^{2} - 12

f_{x x} (x, y) = 2 y + 2

f_{y y} (x, y) = 6 y

f_{x y} (x, y) = 2 x

Jetzt haben wir schon mal die Ableitungen. Die "interessanten" Stellen sind da, wo

f_{x} = 0 = f_{y}

.

Das GLS

2 x y + 2 x = 0

3 y^{2} + x^{2} - 12 = 0

hat vier Lösungen

(0,2), (0, - 2), (3, - 1), (- 3, - 1)

.

Die Hessematrix zweiter partiellen Ableitungen hat die allgemeine Form

H_{f} (x, y) = (\begin{matrix} 2 y + 2 & 2 x \\ 2 x & 6 y \end{matrix})

Nach der Definitheit der Hessematrix in den Stellen entscheidet sich, um welche Punkte es sich handelt.

H_{f} (0,2) = (\begin{matrix} 6 & 0 \\ 0 & 12 \end{matrix}) \to

Eigenwerte 6 und

12 \to

positiv definit

\to (0,2)

ist lokales Minimum

H_{f} (0, - 2) = (\begin{matrix} - 2 & 0 \\ 0 & - 12 \end{matrix}) \to

Eigenwerte

- 2

und

- 12 \to

negativ definit

\to (0, - 2)

ist lokales Maximum

H_{f} (3, - 1) = (\begin{matrix} 0 & 6 \\ 6 & - 6 \end{matrix}) \to

Eigenwerte

- 3 + 3 \sqrt{5}

und

- 3 - 3 \sqrt{5} \to

indefinit

\to (3, - 1)

ist Sattelpunkt

H_{f} (- 3, - 1) = (\begin{matrix} 0 & - 6 \\ - 6 & - 6 \end{matrix}) \to

Eigenwerte

- 3 + 3 \sqrt{5}

und

- 3 - 3 \sqrt{5} \to

indefinit

\to (3, - 1)

ist Sattelpunkt

maka1989 aktiv_icon

16:04 Uhr, 19.06.2009

Aber mal ganz ehrlich: (3 / -1 / 22) und (-3 / -1 /22) sind doch keine Hoch- bzw. Tiefpunkte!!! (oder bin ich jetzt komplett dumm und blind?)

Ich hab extra nochmal die Grafik erstellt...

gruß

HP7289 aktiv_icon

16:49 Uhr, 19.06.2009

Richtig, ich habe beim Einsetzen der Punkte

x

und

y

vertauscht. Inzwischen habe ich meinen Beitrag korrigiert.

maka1989 aktiv_icon

18:07 Uhr, 19.06.2009

dann gibts also bloß 1 Sattelpunkt,oder?! Und der ist bei (3 / -1 /22), ist das richtig?

Folglich ist (-3 / -1 / 22) kein Sattelpunkt (so steht es ja auch in deinem Post)

Grüße

HP7289 aktiv_icon

23:41 Uhr, 19.06.2009

Nein, es sind beide Sattelpunkte.

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