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Hohler Kegel

Schüler Gesamtschule,

Tags: hohler Kegel, kegelstumpf, volum

Bea227 aktiv_icon

17:53 Uhr, 10.03.2013

Ein hohler Kegel steht auf der Spitze und hat innen den Grundkeisradius a und die Höhe

a

. Er wird bis zur Hälfte mit Wasser gefüllt, mit einem Deckel verschlossen und mit der Spitze nach oben gedreht.

a)

Wie hoch steht das Wasser nach dem Befüllen im gedrehten Kegel?

b)

Welcher Wasserstand ergibt sich, wenn der Kegel bei gleicher Höhe den Durchmesser a hat?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

06:51 Uhr, 11.03.2013

Strahlensatz im Raum. Die Kegelspitze hat einen halb so großen Radius und die halbe Höhe des Gesamtkegels, also

V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot {(\frac{r}{2})}^{2} + \frac{h}{2} = \frac{1}{24} \cdot π \cdot r^{2} + h

. Daher hat nach dem Umdrehen die Spitze über dem Wasser

\frac{7}{24} \cdot π \cdot r^{2} \cdot h

und damit eine Höhe von

{(\frac{7}{8})}^{\frac{1}{3}}

der Gesamthöhe. Also steht das Wasser 0,0435*Kegelhöhe hoch.

Bea227 aktiv_icon

13:08 Uhr, 12.03.2013

Vielen Dank, den ersten Teil kann ich nachvollziehen:

h = a r = a

V1(Gesamter Kegel)
V=1/3πa²*a
V=1/3πa³

V2(kleiner Kegel)
tanα = Gegenkathete / Ankathete
tanα

= \frac{6}{a} = 1

α = 45°

\frac{r}{1} / 2 a =

tanα

r = \frac{1}{2} a

V=1/3π(1/2a)²*1/2a
V=1/3π*1/4a²*1/2a
V=1/24πa³

V3(Kegelstumpf)vor dem Drehen, und lere Kegelspitze nach dem Drehen

V 3 = V 1 - V 2

V=1/3πa³-1/24πa³
V=7/24πa³

Aber jetzt weiß ich nicht weiter. Wie komme ich vom Volumen auf die Höhe bzw auf den Radius

(2)

des Kegelstumpfes in dem das Wasser steht?

Kannst du mir da weiterhelfen?

prodomo aktiv_icon

13:40 Uhr, 12.03.2013

Der Strahlensatz gilt jetzt auch für die "Luftspitze", die

\frac{7}{8}

des Kegels ausmacht. Also verhalten sich ihr Radius und ihre Höhe wie

{(\frac{7}{8})}^{\frac{1}{3}} : 1

gegenüber den entsprechenden Größen des Gesamtkegels,

d . h

. Radius und Höhe sind das 0,9564fache des Radius bzw. der Höhe des Gesamtkegels. Das gilt auch, wenn nicht Radius = Höhe ist wie bei

b),

denn dem Strahlensatz ist das egal.

Bea227 aktiv_icon

00:27 Uhr, 13.03.2013

So ganz begreife ich es noch nicht:

Kannst du mir den Weg noch einmal mit

r = a

und

h = a

in den einzelnen Schritten aufzeigen? Bitte! Ich hänge nach wie vor bei der Übertragung: Anwendung des Strahlensatzes bei den einzelnen Volumen, die ich kenne, auf die Höhe und den Radius.
Vielen Dank für deine Mühe!

LG Beate

prodomo aktiv_icon

08:30 Uhr, 13.03.2013

h_{1} : h_{2} = \frac{1}{2}

. Also auch

r_{1} : r_{2} = \frac{1}{2}

. Dabei spielt es keine Rolle, wie spitz der Kegel ist

(s

b)

. Damit gilt

V_{1} : V_{2} = \frac{1}{8}

. Daher passt

\frac{1}{8}

des Volumens in die Spitze, also

\frac{7}{8}

sind Luft. Für die "Luftspitze" gilt

1 : 2

nicht, sondern

\frac{1}{k}

. Demnach

r_{1} : r_{2} = \frac{1}{k},

usw. Also

V_{1} : V_{2} = \frac{1}{k^{3}}

(oben war es

\frac{1}{2^{3}})

. Demnach

\frac{1}{k^{3}} = \frac{7}{8}

und somit

\frac{1}{k} = 0,956 . .

Bea227 aktiv_icon

10:59 Uhr, 13.03.2013

Vielen Dank!
Wofür steht k?

prodomo aktiv_icon

11:41 Uhr, 13.03.2013

Für das Verhältnis der Längen beim Strahlensatz. Bei

a)

ist es

1 : 2

wegen der Angabe "zur Hälfte gefüllt", bei

b)

muss man es errechnen, um damit den Wasserstand zu bestimmen, der

1 - k

ist, wenn der Anteil im leeren Teil

k

beträgt.

Bea227 aktiv_icon

00:18 Uhr, 17.03.2013

Vielen Dank, endlich habe ich das, dank deiner Hilfe einigermaßen begriffen. nachvollziehen.

Nun habe ich das Problem, dass ich ein maßstabsgetreues Modell für diese Aufgabe bauen muss. Kannst du mir bitte helfen, wie ich errechnen kann, welchen Kreisausschnitt ich bei der Erstellung eines Modells bei bei den beiden Aufgaben ausschneiden muss?

Vielen Dank für deine Mühe

Beate

prodomo aktiv_icon

09:05 Uhr, 17.03.2013

Es muss der Sektor mit dem Winkel

α

auf den kompletten Grundkreis passen, also

2 \cdot π \cdot s \cdot \frac{α}{360} = 2 \cdot π \cdot r

. Dabei gilt

s^{2} = r^{2} + h^{2}

Bea227 aktiv_icon

18:12 Uhr, 17.03.2013

Vielen Dank!

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