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Homöomorphismus Beweis
Universität / Fachhochschule
Stetigkeit
Tags: Homöomorphismus, kompakt, Metrische Räume, Stetigkeit
 
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anonymous 10:28 Uhr, 22.05.2020  |
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Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Seien metrische Räume, sei kompakt und ist stetig und bijektiv. Zu zeigen ist: ist ein Homöomorphismus finde ein Gegenbeispiel, bei dem nicht kompakt ist und somit kein Homöomorphismus ist Also zur nach der Definition des Homöomorphismus müsste man ja nur zeigen, dass stetig ist. Basierend auf der würde ich sagen, dass wir hier die Kompaktheit bestimmt brauchen. Ich habe keine Idee, wie man das beweisen könnte, also habe ich mal alle direkten Folgerungen aufgeschrieben: kompakt und stetig kompakt und gleichmäßig stetig stetig für alle existiert mit ich sehe noch nicht so ganz, wie mir das helfen kann Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Hallo, zu 1: überlege dir, dass es genügt zu zeigen, dass abgeschlossen ist für jede abgeschlossene Teilmenge von . Gruß ermanus |
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anonymous 13:01 Uhr, 22.05.2020 |
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Ich habe es versucht, ich komme aber auf kein Ergebnis. Ich verstehe, dass das eine Eigenschaft von Homöomorphismen ist, aber nicht, wie ich das zeigen kann. |
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Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes ist selbst kompakt. Daher ist wegen der Stetigkeit von auch kompakt. Da eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes abgeschlossen ist, ist abgeschlossen. |
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anonymous 14:26 Uhr, 22.05.2020 |
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Achso, super, danke |
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anonymous 14:33 Uhr, 22.05.2020 |
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Was wäre dann mit dem Gegenbeispiel? |
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Sei der Einheitskreis, dann ist eine stetige bijektive Abbildung. Überlege dir, warum dies kein Homöomorphismus sein kann. |
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anonymous 17:19 Uhr, 22.05.2020 |
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Ich bin mir da nicht sicher, aber könnten wir das Argument benutzen, was wir im Beweis benutzt hatten? Also dass abgeschlossen ist, aber nicht? Falls das stimmt, müsste ich ja noch beweisen, dass die Mengen abgeschlossen bzw nicht abgeschlossen sind. |
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Nein, das wird hier nicht funktionieren. Aber die Umkehrfunktion müsste ja stetig sein, ist beschränkt und abgeschlossen im , nach Heine-Borel also kompakt, also müsste bei Stetigkeit von das Bild als stetiges Bild eines Kompaktums kompakt sein ... |
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anonymous 08:31 Uhr, 23.05.2020 |
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Und das ist es nicht? Aber warum? |
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Ist denn abgeschlossen? |
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anonymous 09:31 Uhr, 23.05.2020 |
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Nein, ist ja nicht in der Menge enthalten. Wenn wir aber das Komplement der Menge nehmen (Angenommen in dann gibt es ja keinen Ball um der nicht die Menge trifft, oder? |
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Ich habe nicht behauptet, dass offen ist, sondern behaupte nur, dass es nicht abgeschlossen ist, also auch nicht kompakt. Das Intervall ist weder offen, noch abgeschlossen. ist ein Randpunkt. |
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anonymous 09:40 Uhr, 23.05.2020 |
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Ja, aber ich wollte zeigen, dass das Komplement nicht offen sein kann. |
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Oh! Da habe ich dich falsch verstanden. Das hast du damit richtig gezeigt. |
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anonymous 10:17 Uhr, 23.05.2020 |
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Und das wäre es dann mit dem Gegenbeispiel? |
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Klar! Damit haben wir eine stetige bijektive Abbildung gefunden, die kein Homöomorphismus ist. |
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anonymous 10:43 Uhr, 23.05.2020 |
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Super, dankeschön! |
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Hallo!! Ich habe es geschafft zu zeigen, dass abgeschlossen ist, aber ich verstehe nicht wieso dies genügt und ich daraus schliessen kann das stetig ist... Könnte mir dies jemand erklären? |
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