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Imaginärteil von der Wurzel aus i

Universität / Fachhochschule

Tags: Imaginärteil, Komplexe Zahlen, Wurzel

strohhirn aktiv_icon

15:30 Uhr, 12.11.2016

Hallo,

was ist der Imaginärteil von

w = \sqrt{i}

.

Eigentlich steht da ja

1 \cdot \sqrt{i}

. Ist also Im(w)=1?

Mfg

strohhirn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

15:53 Uhr, 12.11.2016

Hallo,

Du musst zunächst

\sqrt{i}

berechnen. Das geht

a)

mit Hilfe von Polarkoordinaten

b)

mit dem Ansatz

w = x + i \cdot y

und

w^{2} = i

Man erhält jeweils 2 Lösungen.

Gruß pwm

strohhirn aktiv_icon

16:02 Uhr, 12.11.2016

Ich muss es mit Ansatz

b)

machen. Kommt also Im(w)=1 und Im(w)=-1 raus?

Bei Ansatz

a)

kommt folgendes raus:

Re(w)=1;Im(w)=0 und Re(w)= -1;Im(w)=0

Das muss doch eigentlich auch bei

b)

rauskommen oder?

pwmeyer aktiv_icon

16:10 Uhr, 12.11.2016

Was hast Du denn für

w

mit

w^{2} = i

berechnet??

strohhirn aktiv_icon

16:27 Uhr, 12.11.2016

Ich habe gedacht wenn bei

x^{2} = 1; x_{1} = 1

und

x_{2} = - 1,

dann ist das so ähnlich bei komplexen Zahlen.
Ist denn meine Lösung aus Ansatz

a)

richtig?

pwmeyer aktiv_icon

18:16 Uhr, 12.11.2016

Schreib doch bitte mal hin

w = . .

. und dann berechne

w^{2}

und prüfe, ob

w^{2} = i

ist. für

w = 1

oder

w = - 1

ist das doch offenbar nicht der Fall. Und auch nicht bei

w = i

oder

w = - i

ledum aktiv_icon

18:31 Uhr, 12.11.2016

Nein
weist du nicht, wie man komplexe Wurzeln zieht. kennst du die Euledarstellung von komplexen Zahlen?
graphisch: wenn man

z

quadriert wird der Winkel zur

x

Achse verdoppelt, der Betrag quadriert, was muss man dann zum Wurzelziehen machen?
Gruß ledum

strohhirn aktiv_icon

12:19 Uhr, 13.11.2016

Ok, ich habe keine Ahnung wie man Wurzeln von komplexen Zahlen zieht.
Nun soll ich von

w^{2} = i;

Real- und Imaginärteil angeben einmal mit Ansatz

a)

und einmal mit

b)

.

Ist meine Lösung von

a)

richtig?

Wie gehe ich bei

b)

vor?

HilbertRaum aktiv_icon

13:14 Uhr, 13.11.2016

Eine kompl. Zahl (KZ) ist ein geordnetes Zahlenpaar (x,y)!
Nehmen wir (0,1). Diese KZ nennen wir i.

Die Quadratwurzel ist dann

i^{\frac{1}{2}}

.

Nun musst du dich einfach mal daran erinnern, dass (0,1)=i folgendermaßen dargestellt werden kann:

i = \cos φ + i \sin φ = e^{i φ}

, also

i^{\frac{1}{2}} = (\cos φ + i \sin φ)^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{i φ}{2}}

Scharfes Hinsehen liefert

φ = \frac{π}{2}

und damit

i^{\frac{1}{2}} = e^{\frac{i π}{4}} = \cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}

strohhirn aktiv_icon

15:53 Uhr, 13.11.2016

Ich kann mir nicht vorstellen, dass wir das mir

e

lösen müssen.
Das wurde in der Vorlesung und im Skript nicht einmal erwähnt.

Respon

17:45 Uhr, 13.11.2016

Es gibt ja immer mehrere Wege,

z . B

. der allgemeine Ansatz

\sqrt{i} = a + i \cdot b

Die reellen Zahlen a und

b

sind zu berechnen.

\sqrt{i} = a + i \cdot b

| quadrieren

i = a^{2} - b^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot i

0 + 1 \cdot i = a^{2} - b^{2} + 2 \cdot a \cdot b \cdot i

Der Vergleich von Realteil und Imaginärteil liefert Gleichungen für a und

b

.
Du kannst auch den Betrag verwenden

a^{2} + b^{2} = 1

HilbertRaum aktiv_icon

08:10 Uhr, 14.11.2016

Dann stell es dir einfach bildlich vor. (0,1)=i erhälst du, indem du (1,0)=1 um 90° drehst. Wenn du die Quadrat-Wurzel ziehst, bedeutet das anschaulich, diesen Winkel 90° durch 2 zu teilen, also 45°. Damit liegt deine 1. Wurzel (es gibt ja zwei) auf dem Einheitskreit um 45° gedreht zu (1,0). Das kannst du nun elementar durch sin/cos ausdrücken.
Du weisst, dass die kompl. Zahlen in äquival. Klassen zerfallen (alle

2 π

). Dummerweise dividieren wir ja durch das Wurzelziehen durch 2, damit müssen wir auch

2 π

durch 2 teilen, wodurch wir nicht die Äquivalenzklasse wechseln, sondern tatsächlich eine andere kompl. Zahl erhalten (daher erklärt sich auch, dass es im komplexen im n Wurzeln beim Ziehen der n-ten Wurzel gibt, denn erst im n-ten Schritte wechsel ich die Äqui.Klasse und lande wieder bei den äqui. kompl. Zahlen).
Also, die 2. Wurzel liegt dann auf dem Einheitskreis bei 45°+

π

, also etwa bei 125°. Nun wieder sin/cos zu Rate ziehen: fertig.

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