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Implizite Darstellung in Parameter Darstellung

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Funktion, Funktionalanalysis, parametrisierung

ina123 aktiv_icon

14:34 Uhr, 10.04.2017

Hi,
Ich steh gerade an bei der Umwandlung von

F = {y = x^{2} + z^{2},

wobei

y < 4}

in die Form

x =

y =

z =

Hilfe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DerDepp aktiv_icon

14:56 Uhr, 10.04.2017

Hossa :-)

Die Gleichung nach

z

auflösen:

z = \pm \sqrt{y - x^{2}}

Der Term unter der Wurzel muss

\geq 0

sein:

y - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} \leq y

y

muss noch kleiner als

4

sein:

x^{2} \leq y < 4

.
Insbesondere muss also

x^{2} < 4

sein und damit:

- 2 < x < 2

.
Zurammengefasst:

- 2 < x < 2; x^{2} \leq y < 4; z = \pm \sqrt{y - x^{2}}

ina123 aktiv_icon

16:03 Uhr, 10.04.2017

ok, so weit waere ich dann auch, nur darf ich dann diese Funktion noch mal integrieren, und haette da den ansatz gemacht, dass ich das ganze winkelfunktionen vereinfache in der form:

Geometrische Ansicht: Zylinder um die

y

-Achse mit unendlicher Laenge

(y < 4)

z = cos (t)

x = sin (t)

und meine deck/grundflaeche ist ja ein kreis

y = r

weil mein

y

ja quasi die hoehe des zylinders ist

0<t<2pie

r < 4

Waer das so auch richtig?

rundblick aktiv_icon

16:12 Uhr, 10.04.2017

y = x^{2} + z^{2} ... .

(y \leq 4)

"Geometrische Ansicht: Zylinder um die

y

-Achse mit unendlicher Laenge (y<4)"

\to

wie kommst du auf diese lustige Zylinder-Idee?

und ganz nebenbei:
wieso gar mit "unendlicher Laenge" ? .. bedenke:

x^{2} + z^{2}!! = y!!

ina123 aktiv_icon

16:18 Uhr, 10.04.2017

...hoppla, das is ja ein paraboloid..
wie komm ich da aber auf die polar koordinaten?

DerDepp aktiv_icon

16:24 Uhr, 10.04.2017

Hossa :-)

Wenn du eine Variablenransformation möchtest, würde ich einen "Kreis" mit Radius

r

in die xz-Ebene legen:

x = r \cos φ; z = r \sin φ; φ \in [0; 2 π [

Der Radius folgt aus:

4 > y = x^{2} + z^{2} = r^{2} \cos^{2} φ + r^{2} \sin^{2} φ = r^{2} \Rightarrow r \in [0; 2 [

Die anderen Bedinungen von oben sollten nun auch gelten:

- 2 < x = r \cos φ < 2 check

r^{2} \cos^{2} φ = x^{2} \leq y = r^{2} check

r^{2} = y < 4 check

rundblick aktiv_icon

16:27 Uhr, 10.04.2017

.

ja die Punkte

P (x, y, z)

für die gilt

y = x^{2} + z^{2}

(und

0 \leq y \leq 4)

liegen auf der
Oberfläche eines Rotations-Paraboloids.

.. und was genau ist denn nun deine Aufgabe?
.. (sollst du zB die Oberfäche berechnen? .. oder was ?)

.. also: Original-Text ?!

\to

sehe gerade, dass der

D . .

. wieder da ist - er wird also dann weitermachen..

.

.

ina123 aktiv_icon

16:32 Uhr, 10.04.2017

Macht es in dem fall einen unterschied, wenn ich die koordinaten verdreht hab?

also

z = r \cdot cos (t), x = r \cdot sin (t)

DerDepp aktiv_icon

16:34 Uhr, 10.04.2017

Nein, weil

φ

einen vollen Umlauf beschreibt. Es macht also keine Unterschied, ob du auf der x-Achse oder auf der z-Achse losläufst.

rundblick aktiv_icon

16:49 Uhr, 10.04.2017

.
"Es macht also keine Unterschied, ob du auf der x-Achse oder auf der z-Achse losläufst."

lustig loslaufen .. nur : wohin?

es ist ja immer noch gar nicht bekannt , wie die Aufgabe aussieht ..

.

DerDepp aktiv_icon

16:54 Uhr, 10.04.2017

x

und

z

in der Menge

F

völlig gleichwertig und austauschbar sind (

4 > y = x^{2} + z^{2} = z^{2} + x^{2}

), spielt es für die Parametrieiserung keine Rolle, wie sie die Parametrisierung der Polarkoordinaten wählt.

ina123 aktiv_icon

16:59 Uhr, 10.04.2017

Danke!

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